(IBMEC-03) Considere as sequèncias \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}, \ldots\right) e ( g, \mathrm{g}_{2}, \mathrm{~g}_{3}, \ldots, \mathrm{~g}_{\mathrm{n}}, \mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}, \ldots ) que satisfazem as leis de formação a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2} para n= 1,2,3, \ldots ; \operatorname{com} a_{1}=1 \mathrm{e} \frac{g_{n+1}}{g_{n}}=\frac{1}{2} para n =1,2,3, \ldots ; com \mathrm{g}_{1}=2, respectivamente.
a) Mostre que a sequência \left(2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}\right., …, 2^{u_{n}}, 2^{u_{n+1}}, \ldots ) é uma progressão geométrica e exiba a fórmula do termo geral dessa progressão.
(b) Mostre que a sequência ( \log _{2}\left(\mathrm{~g}_{1}\right), \log _{2}\left(g_{2}\right), \log _{2}\left(g_{3}\right), \ldots, \log _{2}\left(g_{n}\right), \log _{2}\left(g_{n+1}\right), …) é uma progressão aritmética e exiba a fórmula do termo geral dessa progressão.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências:
(a_n) definida por
a_{n+1}-a_n=\tfrac12,\quad a_1=1,
(g_n) definida por
\frac{g_{n+1}}{g_n}=\tfrac12,\quad g_1=2.
Pede-se:
a) mostrar que \bigl(2^{a_n}\bigr) é progressão geométrica e achar seu termo geral;
b) mostrar que \bigl(\log_2(g_n)\bigr) é progressão aritmética e achar seu termo geral.
Conteúdo: progressão aritmética, progressão geométrica, potências e logaritmos.

Passo 2

Como (a_n) satisfaz a_{n+1}-a_n=\tfrac12, é uma progressão aritmética de razão d=\tfrac12 e termo inicial a_1=1. Logo o termo geral é
a_n = a_1 + (n-1)\,d = 1 + (n-1)\,\tfrac12 = 1 + \frac{n-1}{2}.

Passo 3

Considere a sequência b_n=2^{a_n}. Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} =2^{\,a_{n+1}-a_n} =2^{\tfrac12} =\sqrt{2},
constante. Logo (b_n) é progressão geométrica de razão r=\sqrt2 e primeiro termo
b_1 = 2^{a_1} = 2^1 = 2.
O termo geral é
b_n = b_1\,r^{\,n-1} =2\bigl(\sqrt2\bigr)^{\,n-1}.

Passo 4

Como (g_n) tem razão geométrica \tfrac12 e g_1=2, seu termo geral é
g_n = 2\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1}.
Tomando logaritmo base 2,
\log_2(g_n) =\log_2\bigl[2\cdot(2^{-1})^{\,n-1}\bigr] =\log_2 2 + (n-1)\log_2(2^{-1}) =1 + (n-1)(-1) =2 - n.

Passo 5

Defina c_n=\log_2(g_n). Então
c_n = 2 - n,
e
c_{n+1}-c_n = \bigl(2-(n+1)\bigr)-\bigl(2-n\bigr) = -1,
constante. Logo (c_n) é progressão aritmética de razão -1 e termo geral
c_n = 2 - n.

Resposta

a) A sequência \bigl(2^{a_n}\bigr) é progressão geométrica de razão \sqrt2 e termo geral
2^{a_n} = 2\bigl(\sqrt2\bigr)^{\,n-1}.
b) A sequência \bigl(\log_2(g_n)\bigr) é progressão aritmética de razão -1 e termo geral
\log_2(g_n) = 2 - n.

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