(UnB-17) Para n=1,2,3, \ldots, considere a sequência b_{n}=2^{3_{n}}, em que a sequència \mathrm{a}_{\text {п }}п é uma progressão aritmética (PA). Sabendo que 2^{12}=4096, julgue os itens seguintes.
(1) Se a razão da PA for igual a 3, então a sequència b_{n} será uma progressão geométrica de razão igual a 8.
(2) \mathrm{Se} \mathrm{a}_{1}=0 \mathrm{e} a soma dos seis primeiros termos da PA for igual a 30, então a soma dos scis primeiros termos da sequência b_{n} será superior a 1300 .

Passo 1

O enunciado define uma PA \{a_n\} de primeiro termo a_1 e razão d, e constrói a sequência
b_n = 2^{a_n}.
Como conteúdo, vamos usar duas ideias principais:
  1. Se a_n é PA com razão d, então
a_n = a_1 + (n-1)d
e
b_n = 2^{a_1+(n-1)d} = 2^{a_1}\bigl(2^d\bigr)^{\,n-1},
mostrando que \{b_n\} é PG de razão 2^d.
2. A soma dos seis primeiros termos de uma PA e a soma dos seis primeiros termos de uma PG, usando as fórmulas
S_{6}^{\text{PA}} = \frac{6}{2}\bigl(2a_1 + 5d\bigr), \quad S_{6}^{\text{PG}} = b_1\frac{r^6-1}{r-1}.

Passo 2

Para o item (1) a razão da PA é d=3. Logo
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} =2^{\,a_{n+1}-a_n} =2^d =2^3 =8.
Isto mostra que \{b_n\} é PG de razão 8. Portanto o item (1) é verdadeiro.

Passo 3

No item (2) temos a_1=0 e
S_{6}^{\text{PA}} = \frac{6}{2}\bigl(2\cdot0 + 5d\bigr) =15d =30 \;\Longrightarrow\;d=2.
Então
a_n = (n-1)\cdot2, \quad b_n = 2^{2(n-1)} =4^{\,n-1}.
A soma dos seis primeiros termos de \{b_n\} é
S_{6}^{\text{PG}} = \sum_{k=0}^{5}4^k = \frac{4^6-1}{4-1} = \frac{4096-1}{3} = \frac{4095}{3} =1365,
e de fato 1365>1300. Logo o item (2) também é verdadeiro.

Resposta

(1) Verdadeiro.
(2) Verdadeiro.

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