(UFMA-03) O número 38 é dividido em três parcelas positivas, formando uma progressão geométrica de tal modo que, se for adicionada uma unidade à segunda parcela, obtém-se uma progressão aritmética. Qual é a maior das parcelas?
a) 10
b) 15
c) 18
d) 20
e) 22

Passo 1

O enunciado diz que três números positivos formam uma progressão geométrica cuja soma é 38. Se adicionarmos 1 à segunda parcela, passa a ser uma progressão aritmética. Precisamos encontrar a maior dessas três parcelas.

Passo 2

Sejam as parcelas da PG
a,\quad ar,\quad ar^2
com a>0 e razão r>0. Da soma temos
a + ar + ar^2 = 38 \quad\Longrightarrow\quad a\bigl(1 + r + r^2\bigr)=38.

Passo 3

A condição de PA em
a,\quad ar+1,\quad ar^2
é
2\,(ar+1)=a + ar^2.
Expandindo e rearranjando:
2ar + 2 = a + ar^2 \;\Longrightarrow\; 2ar - ar^2 - a + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a\bigl(2r - r^2 -1\bigr) + 2 = 0.
Note que 2r - r^2 -1 = -(r-1)^2, logo
-a(r-1)^2 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a(r-1)^2 = 2 \;\Longrightarrow\; a = \frac{2}{(r-1)^2}.

Passo 4

Substituindo a na soma da PG:
\frac{2}{(r-1)^2}\,\bigl(1 + r + r^2\bigr) = 38 \quad\Longrightarrow\quad 1 + r + r^2 = 19\,(r-1)^2.
Expandindo:
1 + r + r^2 = 19(r^2 - 2r +1) =19r^2 -38r +19 \;\Longrightarrow\; 18r^2 -39r +18 = 0.
Divide por 3:
6r^2 -13r +6 = 0,
cuja raiz são
r = \frac{13\pm5}{12} \;\Longrightarrow\; r = \frac32 \quad\text{ou}\quad r = \frac23.

Passo 5

Para r=\tfrac32:
a = \frac{2}{(1/2)^2} = 8,
parcelas 8,12,18.
Para r=\tfrac23:
a = \frac{2}{(-1/3)^2} = 18,
parcelas 18,12,8.
Em ambos os casos a maior parcela é 18.

Resposta

18

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