Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficos e indique suas orientações.
P(t)=(cos t) i+(sen t) j+t k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica em R^3
P(t) = (cos t),i + (sen t),j + t,k, 0 <= t <= 2pi
O objetivo é identificar qual é o arco (isto é, o traçado da curva), desenhar o seu gráfico e indicar a orientação (sentido) em que ele é percorrido conforme t cresce.

Passo 2

Para entender a forma do arco, primeiro projetamos P(t) no plano xy. Essa projeção é
Pxy(t) = (cos t,;sen t),
com 0<= t<= 2pi. Trata-se de um círculo de raio 1, percorrido no sentido anti-horário (CCW) à medida que t aumenta de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora acrescentamos a coordenada z=t. Em vez de ficarmos num círculo plano, cada volta em xy sobe linearmente em z. O resultado é uma hélice de raio 1 que faz exatamente uma volta completa enquanto z vai de 0 a 2pi.
Para visualizar, em alguns valores notáveis:
t=0:& P(0)=(1,0,0), t=tfracpi2:& Pl(tfracpi2r)=(0,1,tfracpi2), t=pi:& P(pi)=(-1,0,pi), t=tfrac3pi2:& Pl(tfrac3pi2r)=(0,-1,tfrac3pi2), t=2pi:& P(2pi)=(1,0,2pi)
Graficamente, imagine um fio enrolado em torno do eixo z, iniciando em (1,0,0) e subindo até (1,0,2pi).

Passo 4

A orientação vem do aumento de t. Conforme t cresce:
  • Na projeção xy, o ponto gira no sentido anti-horário.
  • No eixo z, o ponto sobe continuamente.
    Logo, a hélice é percorrida de baixo para cima e com giro CCW visto de cima.

Resposta

O arco é uma hélice de raio 1 em torno do eixo z, que gira uma vez no sentido anti-horário enquanto z sobe de 0 a 2pi. A orientação segue o aumento de t, i.e.\ sentido CCW na projeção em xy e ascendente em z.

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