Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficos e indique suas orientações.
P(t)=t i-raiz1-t^2 j, -1 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado dá a função de vetor
P(t)=t,i-raiz1-t^2,j,
para -1<= t<=1, e pede para identificar o arco que ela descreve, fazer o gráfico e indicar a orientação. Esse é um problema de curvas paramétricas em R^2, em que precisamos reconhecer a forma geométrica (circunferência de raio unitário) e saber para onde o ponto se desloca quando t varia.

Passo 2

Vamos mostrar que os pontos P(t)=(x,y) estão todos numa circunferência de raio 1. De fato, escrevendo
x(t)=t, y(t)=-raiz1-t^2,
temos
x(t)^2+y(t)^2 = t^2 + l(-raiz1-t^2r)^2 = t^2 + (1-t^2) =1
Portanto, P(t) pertence à circunferência ,x^2+y^2=1.

Passo 3

Note também que, por causa do sinal negativo em y(t), temos
y(t)<=0 forall,tin[-1,1],
ou seja, P(t) percorre apenas a semicírculo inferior da circunferência unitária, do ponto (-1,0) até (1,0).

Passo 4

Para fazer o gráfico, basta desenhar a circunferência de raio 1 e destacar seu arco inferior. Os pontos notáveis são
P(-1)=(-1,0), P(0)=(0,-1), P(1)=(1,0)
Conectando esses pontos por um semicírculo vemos o arco desejado.

Passo 5

Quanto à orientação, à medida que t aumenta de -1 até 1, o ponto percorre o semicírculo inferior de (-1,0) passando por (0,-1) até (1,0).

Resposta

O arco é o semicírculo inferior da circunferência de raio 1, dado por x^2+y^2=1 e y<=0. No gráfico, é o traço que vai de (-1,0) a (1,0) passando por (0,-1), e a orientação é da esquerda para a direita conforme t cresce de -1 a 1.

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