Mostre que o arco P(0)=0 e P(t)=(t, t^3 sen(1 / t)), 0 <= t <= 1 é regular. Faça seu gráfico e verifique que ele corta o eixo O x numa infinidade de pontos.

Passo 1

O enunciado define o arco paramétrico
P:[0,1]toR^2, P(0)=(0,0),;P(t)=l(t,;t^3sin(1/t)r) para t>0,
e pede para mostrar que esse arco é regular (isto é, P'(t)neq(0,0) em todo [0,1]), desenhar seu gráfico qualitativo e verificar que ele corta o eixo Ox infinitas vezes.

Passo 2

Vamos calcular P'(t) para t>0. Como
P(t)=(x(t),y(t))com x(t)=t,;y(t)=t^3sin(1/t),
temos
x'(t)=1,
e usando regra do produto e cadeia,
y'(t)=3t^2sin(1/t)+t^3cos(1/t)cdot(-1/t^2) =3t^2sin(1/t)-tcos(1/t)
Logo, em t>0,
P'(t)=l(1,;3t^2sin(1/t)-tcos(1/t)r)
Como a primeira componente vale sempre 1, concluímos que P'(t)neq(0,0) para todo tin(0,1].

Passo 3

Falta verificar a regularidade em t=0. Por definição de derivada:
P'(0)=limtto0P(t)-P(0)t =limtto0l(1,;t^2sin(1/t)r) =(1,0),
que também não é o vetor nulo.

Passo 4

Como P'(t) existe em todo [0,1] e nunca é o vetor zero, o arco é regular.

Passo 5

Para esboçar o gráfico basta notar que x=t cresce de 0 a 1 e
y=t^3sin(1/t)
oscila com amplitude pm t^3, que tende a zero quando tto0. Isso gera ondulações cada vez menores em volta do eixo Ox, todas concentradas próximo de x=0.

Passo 6

Os cortes com o eixo Ox ocorrem quando y(t)=0, i.e.
t^3sin(1/t)=0Long<=ftrightarrowsin(1/t)=0Long<=ftrightarrow 1/t=npi,
ou seja
tn=1npi, n=1,2,3,dots
Como há um tn para cada ninN, o arco cruza o eixo Ox infinitas vezes, acumulando esses pontos em t=0.

Resposta

O arco é regular pois P'(t)neq(0,0) em todo [0,1]. Seu gráfico mostra oscilações de amplitude pm t^3 em torno do eixo Ox, e ele o corta infinitas vezes nos pontos
l(x(tn),0r)=l(tfrac1npi,,0r), n=1,2,3,dots

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