Mostre que o arco
e
é regular. Faça seu gráfico e verifique que ele corta o eixo
numa infinidade de pontos.
Passo 1
O enunciado define o arco paramétrico
e pede para mostrar que esse arco é regular (isto é,
em todo
), desenhar seu gráfico qualitativo e verificar que ele corta o eixo
infinitas vezes.
Passo 2
Vamos calcular
para
. Como
temos
e usando regra do produto e cadeia,
Logo, em
,
Como a primeira componente vale sempre
, concluímos que
para todo
.
Passo 3
Falta verificar a regularidade em
. Por definição de derivada:
que também não é o vetor nulo.
Passo 4
Como
existe em todo
e nunca é o vetor zero, o arco é regular.
Passo 5
Para esboçar o gráfico basta notar que
cresce de
a
e
oscila com amplitude
, que tende a zero quando
. Isso gera ondulações cada vez menores em volta do eixo
, todas concentradas próximo de
.
Passo 6
Os cortes com o eixo
ocorrem quando
, i.e.
ou seja
Como há um
para cada
, o arco cruza o eixo
infinitas vezes, acumulando esses pontos em
.
Resposta
O arco é regular pois
em todo
. Seu gráfico mostra oscilações de amplitude
em torno do eixo
, e ele o corta infinitas vezes nos pontos