Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficos e indique suas orientações.
P(t)=t i+2 t j+(1-t) k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o arco dado por
P(t)=t,i+2t,j+(1-t),k, 0<= t<=2,
isto é, reconhecer que curva é essa no espaço, apontar seus pontos iniciais e finais, desenhar o gráfico (segmento de reta em R^3) e indicar em que sentido ele é percorrido conforme t cresce de 0 a 2.

Passo 2

Vamos achar o ponto inicial e o ponto final substituindo t=0 e t=2:
P(0)=(0,0,1),
P(2)=(2,4,1-2)=(2,4,-1)

Passo 3

Para ver a natureza da curva, computamos a derivada vetorial
P'(t)=ddtl(t,,2t,,1-tr)=(1,2,-1),
que é constante. Isso mostra que P(t) descreve um segmento de reta em direção ao vetor (1,2,-1). Logo, o arco é exatamente o segmento de reta que liga (0,0,1) a (2,4,-1).

Passo 4

No gráfico em R^3 a gente marca o ponto A=(0,0,1) e o ponto B=(2,4,-1), traça a reta entre eles e põe uma flecha de A para B. Essa flecha indica a orientação: conforme t aumenta de 0 até 2, o ponto se move de A em direção a B.

Resposta

O arco é o segmento de reta de A=(0,0,1) até B=(2,4,-1), orientado de A para B (isto é, no sentido de t crescendo de 0 a 2).

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