Identifique os arcos nos Exercícios 1 a 12, faça gráficos e indique suas orientações.
P(t)=(t^2+1) i-3 t j, -1 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
P(t) = l(x(t),,y(t)r) = l(t^2+1,,-3tr), -1 <= t <= 1
O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas no plano: vamos identificar o arco, encontrar sua equação cartesiana, achar os pontos extremais e descrever a orientação conforme t cresce.

Passo 2

Extraímos as componentes
x(t)=t^2+1, y(t)=-3t
Para eliminar t, note que t = -tfracy3. Substituindo em x:
x = l(-tfracy3r)^2 + 1 = 1 + y^29
Então a curva é o ramo da parábola
x = 1 + y^29
que corresponde ao domínio -1<= t<=1.

Passo 3

Calculamos os pontos chave:
P(-1)=l((-1)^2+1,,-3cdot(-1)r)=(2,,3),
P(0)=l(0^2+1,,-3cdot0r)=(1,,0),
P(1)=l(1^2+1,,-3cdot1r)=(2,,-3)
O vértice da parábola é P(0)=(1,0); as extremidades do arco são P(-1)=(2,3) e P(1)=(2,-3).

Passo 4

Conforme t varia de -1 até 1, o ponto percorre a parábola do ponto (2,3) até (2,-3), passando pelo vértice (1,0). Portanto a orientação do arco é de cima para baixo, entrando à esquerda no vértice e saindo à direita.

Passo 5

Esboço do gráfico (eixo x horizontal, y vertical):
c uparrow y 3 bul<=t searrow 1 backslash bul<=t (1,0) -1 backslash searrow -3 bul<=t + ---------------- to x 12
As bolinhas indicam P(-1)=(2,3), P(0)=(1,0) e P(1)=(2,-3), e a seta mostra a orientação.

Resposta

O arco é o segmento da parábola
x = 1 + y^29, -3 <= y <= 3,
que vai de P(-1)=(2,3) até P(1)=(2,-3), passando pelo vértice P(0)=(1,0), orientado de cima para baixo à medida que t cresce de -1 a 1.

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