(IME-00) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto: (a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) é divisivel por 12.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quatro inteiros a,b,c,d, o produto
P=(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)
é divisível por 12.
Conteúdo: divisibilidade via classes módulo n e argumento de paridade; usaremos o princípio da casa dos pombos em \bmod 3 e em \bmod 2.

Passo 2

Mostrando que P é divisível por 3.
Os quatro números a,b,c,d assumem apenas três possíveis restos em divisão por 3 (que são 0,1,2). Pelo princípio da casa dos pombos, há dois deles com o mesmo resto mod 3. Suponha, sem perda de generalidade, que x e y sejam esses dois inteiros. Então
x\equiv y\pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad x-y\equiv 0\pmod{3},
logo (x-y) é múltiplo de 3 e aparece como um dos fatores de P. Assim 3\mid P.

Passo 3

Mostrando que P é divisível por 4.
Note que, em módulo 2, cada inteiro é par ou ímpar. Há quatro números a,b,c,d, então:
  • Se tiver pelo menos três pares ou pelo menos três ímpares, então dentro desse mesmo tipo há \binom{3}{2}=3 pares de números. Cada diferença entre dois pares ou entre dois ímpares é par, gerando pelo menos três fatores pares em P.
  • Se tiver exatamente dois pares e dois ímpares, então há \binom{2}{2}=1 par de pares e \binom{2}{2}=1 par de ímpares, totalizando 2 diferenças pares em P.
Em todo caso, aparecem pelo menos dois fatores de diferença par em P, o que garante que 2^2=4 divide P. Logo 4\mid P.

Resposta

Como 3\mid P e 4\mid P e \gcd(3,4)=1, segue 12\mid P. Portanto o produto dado é divisível por 12.

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