(IME-00) Considere quatro números inteiros
e
. Prove que o produto:
é divisivel por 12.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados quatro inteiros
, o produto
é divisível por
.
Conteúdo: divisibilidade via classes módulo e argumento de paridade; usaremos o princípio da casa dos pombos em
e em
.
Conteúdo: divisibilidade via classes módulo
Passo 2
Mostrando que
é divisível por
.
Os quatro números assumem apenas três possíveis restos em divisão por
(que são
). Pelo princípio da casa dos pombos, há dois deles com o mesmo resto mod
. Suponha, sem perda de generalidade, que
e
sejam esses dois inteiros. Então
Os quatro números
logo
é múltiplo de
e aparece como um dos fatores de
. Assim
.
Passo 3
Mostrando que
é divisível por
.
Note que, em módulo , cada inteiro é par ou ímpar. Há quatro números
, então:
Note que, em módulo
- Se tiver pelo menos três pares ou pelo menos três ímpares, então dentro desse mesmo tipo há
pares de números. Cada diferença entre dois pares ou entre dois ímpares é par, gerando pelo menos três fatores pares em . - Se tiver exatamente dois pares e dois ímpares, então há
par de pares e par de ímpares, totalizando 2 diferenças pares em .
Em todo caso, aparecem pelo menos dois fatores de diferença par em
, o que garante que
divide
. Logo
.
Resposta
Como
e
e
, segue
. Portanto o produto dado é divisível por
.