(Insper-09) Uma empresa possui 1.000 funcionários. No último ano, foram realizadas 2.000 reuniōes internas nessa empresa (ou seja, reuniōes em que todos os participantes são funcionários). Assim, é correto concluir que nesse ano, necessariamente,
a) todos os funcionários da empresa participaram de no mínimo duas reuniões internas.
b) houve funcionários da empresa que participaram de uma única reunião interna.
c) houve reuniões internas na empresa com apenas dois participantes.
d) houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com números de participantes diferentes.
e) houve no minimo duas reuniōes internas na empresa com o mesmo número de participantes.

Passo 1

O problema dá que há 1000 funcionários e que, ao longo do ano, foram feitas 2000 reuniões internas (todas com participantes que são funcionários). Precisamos usar o princípio da casa dos pombos para concluir algo que seja necessariamente verdadeiro sobre o número de participantes nas reuniões.

Passo 2

Observe que cada reunião interna deve ter pelo menos dois participantes (caso contrário não faria sentido chamar de “reunião”). Logo, o número de participantes em cada reunião pode ser um inteiro entre 2 e 1000. Isso significa que existem, no máximo,
1000 - 2 + 1 \;=\; 999
valores possíveis distintos para o tamanho de uma reunião.

Passo 3

Como há 2000 reuniões e apenas 999 tamanhos possíveis, pelo princípio da casa dos pombos duas reuniões diferentes devem ter o mesmo número de participantes. Em outras palavras, não há como distribuir 2000 reuniões em 999 “caixas” sem que alguma caixa receba pelo menos duas reuniões.

Resposta

e) houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com o mesmo número de participantes.

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