(IME-09) É dada uma PA de razão r. Sabe-se que o quadrado de qualquer número par \mathrm{x}, \mathrm{x}>2, pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos desta PA , onde n é igual à metade de x . O valor de ré
A) 2
B) 4
C) 8
D) 10

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética (PA) de razão r e afirma que, para qualquer número par x>2, temos
\displaystyle x^2 = soma dos n primeiros termos da PA, onde n = \tfrac{x}{2}.
Queremos determinar r.

Passo 2

A soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo a_1 e razão r é
S_n = \frac{n}{2}\Bigl(2a_1 + (n-1)r\Bigr).
Aqui n = \tfrac{x}{2}, e S_n deve ser igual a x^2. Logo,
\frac{\frac{x}{2}}{2}\Bigl(2a_1 + \bigl(\tfrac{x}{2}-1\bigr)r\Bigr) \;=\; x^2.

Passo 3

Simplificamos a equação:
\frac{x}{4}\Bigl(2a_1 + \bigl(\tfrac{x}{2}-1\bigr)r\Bigr) = x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; 2a_1 + \bigl(\tfrac{x}{2}-1\bigr)r = 4x.
Isto é,
2a_1 - r + \frac{r}{2}\,x = 4x.

Passo 4

Como a relação vale para todo x par maior que 2, igualamos coeficientes de x:
\frac{r}{2} = 4 \;\;\Longrightarrow\;\; r = 8.

Resposta

8

Exercícios de Livros Relacionados