(ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressāo aritmética de razão r. Seja a um número real com a>0 e a \neq 1 satisfazendo 3 a x+ 2 a^{Y}-a^{7}=0. Então r é igual a:
a) a^{2}
b) (1 / 2)^{a}
c) \log _{2 n} 4
d) \log _{n}(3 / 2)
e) \log _{n} 3

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z formam uma progressão aritmética de razão r. Isso significa que
y = x + r \quad\text{e}\quad z = x + 2r.
Estamos também dados um real a>0, a\neq1, que satisfaz
3\,a^x + 2\,a^y - a^z = 0.
O conteúdo envolve progressão aritmética e propriedades de potências. Para resolver, vamos: (i) expressar y e z em função de x e r; (ii) fatorar a^x; (iii) resolver a equação resultante em a^r.

Passo 2

Substituindo y = x+r e z = x+2r na equação, obtemos
3\,a^x + 2\,a^{\,x+r} - a^{\,x+2r} = 0.
Fatorando a^x (que é sempre positivo), vem
a^x\bigl(3 + 2\,a^r - a^{2r}\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 + 2\,a^r - a^{2r} = 0.

Passo 3

Defina t = a^r. A equação vira
3 + 2\,t - t^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; t^2 - 2t - 3 = 0.
Resolvendo a quadrática,
t = \frac{2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \;\Longrightarrow\; t = 3 \quad\text{ou}\quad t = -1.
Como t = a^r>0, descartamos t=-1 e ficamos com a^r = 3.

Passo 4

Para a^r = 3, basta tirar logaritmo na base a:
r = \log_{a}3.

Resposta

\displaystyle \log_{a}3 (alternativa e)

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