(UECE-19) Considere a soma dos números inteiros impares positivos agrupados do seguinte modo:
\begin{gathered} 1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17 \\\\ +19)+(21+23+25+27+29)+\ldots \end{gathered}
O grupo de ordem n é formado pela soma de n inteiros positivos impares e consecutivos. Assim, pode-se afirmar corretamente que a soma dos números que compũem o décimo primeiro grupo é igual a
a) 1223
b) 1331
c) 1113
d) 1431

Passo 1

O enunciado apresenta os números ímpares positivos agrupados de modo que o grupo de ordem n é formado por n termos ímpares consecutivos. Precisamos encontrar a soma dos termos do décimo primeiro grupo, ou seja, o valor de
S_{11} = \text{soma dos 11 números ímpares consecutivos que compõem o grupo \(n=11\)}.úíõ

Passo 2

Num’eramos os \i{\i}mpares pela f’ormula do m-'esimo \i{\i}mpar:
O_m = 2m - 1.
O total de termos antes do grupo de ordem k 'e
\sum_{j=1}^{k-1} j \;=\;\frac{(k-1)k}{2},
logo o 'indice m do primeiro termo do grupo k vale
m = \frac{(k-1)k}{2} + 1.
Desse modo, o primeiro termo do grupo k 'e
a_k = O_m = 2\Bigl(\frac{(k-1)k}{2} + 1\Bigr) - 1 = k(k-1) + 1.

Passo 3

O grupo k é, então, uma progressão aritmética de razão 2 e k termos, com primeiro termo a_k. A soma dessa P.A. é
S_k = \frac{k}{2}\bigl(2a_k + (k-1)\cdot 2\bigr) = k\bigl(a_k + (k-1)\bigr).

Passo 4

Substituindo a_k = k(k-1)+1 em a_k + (k-1) obtemos
a_k + (k-1) = \bigl[k(k-1)+1\bigr] + (k-1) = k^2.
Logo
S_k = k \cdot k^2 = k^3.

Passo 5

Para k = 11, temos
S_{11} = 11^3 = 1331.

Resposta

b) 1331

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