(IME-99) Determine \alpha para que seja impossivel o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=4 \\\\ 3 x-y+5 z=2 \\\\ 4 x+y+\left(\alpha^{2}-14\right) z=\alpha+2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - 3z = 4,\\\\ 3x - y + 5z = 2,\\\\ 4x + y + \bigl(\alpha^{2}-14\bigr)z = \alpha + 2, \end{cases}
e pede os valores de \alpha para os quais o sistema é impossível.
Conteúdo: compatibilidade de sistemas lineares. Para que seja impossível, a matriz de coeficientes deve ser singular (determinante zero) e a matriz aumentada deve ter posto maior que o da matriz de coeficientes.

Passo 2

Para achar quando a matriz de coeficientes fica singular, procuramos \lambda e \mu tais que a terceira equação (coeficientes (4,1,\alpha^{2}-14)) seja combinação linear das duas primeiras:
\lambda\,(1,2,-3)\;+\;\mu\,(3,-1,5)\;=\;(4,1,\alpha^{2}-14).

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \lambda + 3\mu = 4,\\\\ 2\lambda - \mu = 1,\\\\ -3\lambda + 5\mu = \alpha^{2} - 14. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações para \lambda e \mu:

Passo 4

Da segunda equação \;2\lambda - \mu = 1\; vem \lambda = \tfrac{1+\mu}{2}. Substituindo em \lambda + 3\mu = 4:
\tfrac{1+\mu}{2} + 3\mu = 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \mu + 6\mu = 8 \quad\Longrightarrow\quad 7\mu = 7 \quad\Longrightarrow\quad \mu = 1,
logo \lambda = \tfrac{1+1}{2} = 1.

Passo 5

Substituindo \lambda=1 e \mu=1 na terceira linha do sistema de combinações:
-3\cdot 1 + 5\cdot 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{2} - 14 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{2} = 16 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \pm 4.
Para \alpha=\pm4 a matriz de coeficientes é singular. Agora resta verificar a consistência dos termos independentes.

Passo 6

Se as duas primeiras equações são combinadas com \lambda=1 e \mu=1, o lado direito combinado é
1\cdot 4 + 1\cdot 2 = 6.
Para a terceira equação ser compatível, deve valer \alpha+2 = 6, ou seja \alpha = 4.
Se \alpha = -4, então \alpha+2 = -2\neq6, gerando posto da aumentada maior que o da coeficiente e, portanto, sistema impossível.

Resposta

\displaystyle \alpha = -4

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