\begin{cases} x + 2y - 3z = 4,\\\\ 3x - y + 5z = 2,\\\\ 4x + y + \bigl(\alpha^{2}-14\bigr)z = \alpha + 2, \end{cases}
e pede os valores de \alpha para os quais o sistema é impossível.
Conteúdo: compatibilidade de sistemas lineares. Para que seja impossível, a matriz de coeficientes deve ser singular (determinante zero) e a matriz aumentada deve ter posto maior que o da matriz de coeficientes.
Passo 2
Para achar quando a matriz de coeficientes fica singular, procuramos \lambda e \mu tais que a terceira equação (coeficientes (4,1,\alpha^{2}-14)) seja combinação linear das duas primeiras:
Para \alpha=\pm4 a matriz de coeficientes é singular. Agora resta verificar a consistência dos termos independentes.
Passo 6
Se as duas primeiras equações são combinadas com \lambda=1 e \mu=1, o lado direito combinado é
1\cdot 4 + 1\cdot 2 = 6.
Para a terceira equação ser compatível, deve valer \alpha+2 = 6, ou seja \alpha = 4.
Se \alpha = -4, então \alpha+2 = -2\neq6, gerando posto da aumentada maior que o da coeficiente e, portanto, sistema impossível.
Resposta
\displaystyle \alpha = -4
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 64