satisfaz a equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que B^{3}+C^{3}=B+C=A. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações
(B-C)\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right]
tem solução (x, y) \neq(0,0) ? Justitique.
Passo 1
O enunciado diz que uma matriz quadrada não–nula A satisfaz
A^{3}+3A^{2}+2A=0
e pede para mostrar que
(A+I)^{3}=A+I.
O conteúdo aqui é polinômio de matriz e fatoração de polinômios matriciais.
Passo 2
Expandindo (A+I)^{3} temos
(A+I)^{3} = A^{3}+3A^{2}+3A+I.
Como A^{3}+3A^{2}+2A=0, segue
A^{3}+3A^{2}=-2A,
logo
(A+I)^{3} = -2A+3A+I = A+I,
como desejado.
Passo 3
Queremos agora achar matrizes não–nulas B e C tais que
Como a característica de A é (t+1)(t+2), -2 é valor próprio de A e assim \det(A+2I)=0. Logo B-C=A+2I é singular e o sistema homogêneo tem solução (x,y)\neq(0,0).
Resposta
B = A+I,
C = -I,
e sim: como \det(B-C)=\det(A+2I)=0, o sistema (B-C)[x\;y]^T=0 admite solução não–trivial.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 47