(ITA-02) 1. Mostre que se uma matriz quadrada nāo-nula A satisfaz a equação
A^{3}+3 A^{2}+2 A=0
Então (A+I)^{3}=A+I, em que I é a matriz identidade.
2. Sendo dado que
A=\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & -2 \end{array}\right]
satisfaz a equação (1) acima, encontre duas matrizes não-nulas B e C tais que B^{3} +C^{3}=B+C=A. Para essas matrizes você garante que o sistema de equações
(B-C)\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right]
tem solução (x, y) \neq(0,0) ? Justitique.

Passo 1

O enunciado diz que uma matriz quadrada não–nula A satisfaz
A^{3}+3A^{2}+2A=0
e pede para mostrar que
(A+I)^{3}=A+I.
O conteúdo aqui é polinômio de matriz e fatoração de polinômios matriciais.

Passo 2

Expandindo (A+I)^{3} temos
(A+I)^{3} = A^{3}+3A^{2}+3A+I.
Como A^{3}+3A^{2}+2A=0, segue
A^{3}+3A^{2}=-2A,
logo
(A+I)^{3} = -2A+3A+I = A+I,
como desejado.

Passo 3

Queremos agora achar matrizes não–nulas B e C tais que
B^{3}+C^{3}=B+C=A.
Uma escolha simples é
B = A + I \quad\text{e}\quad C = -I.
Então
B + C = (A+I)+(-I)=A
e, como vimos em

Passo 4

C^{3}=(-I)^{3}=-I,
portanto
B^{3}+C^{3} = B + (-I) = (A+I)-I = A.

Passo 5

O sistema
(B - C)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
é
(A+I -(-I))\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = (A+2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Como a característica de A é (t+1)(t+2), -2 é valor próprio de A e assim \det(A+2I)=0. Logo B-C=A+2I é singular e o sistema homogêneo tem solução (x,y)\neq(0,0).

Resposta

B = A+I,
C = -I,
e sim: como \det(B-C)=\det(A+2I)=0, o sistema (B-C)[x\;y]^T=0 admite solução não–trivial.

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