(IME-88 CG) Determine os valores de k para que o sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-3 x_{3}=-3 \\ 2 x_{1}+k x_{2}-x_{3}=-2 \\ x_{1}+2 x_{2}+k x_{3}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro k\): \[\begin{cases} x_{1}-3x_{3}=-3,\\\\ 2x_{1}+kx_{2}-x_{3}=-2,\\\ x_{1}+2x_{2}+kx_{3}=1. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes e pelo posto da matriz aumentada. Vamos calcular (\det(A)] e, para os valores que o anulam, checar consistência por posto.

Passo 2

Escrevendo a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\\\ 2 & k & -1\\\\ 1 & 2 & k \end{pmatrix},
calculamos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}k & -1\\\ 2 & k\end{pmatrix} -0\cdot\bigl|\cdot\bigr| +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Logo,
\det(A) =(k^2 -(-1)\cdot2)-3\bigl(2\cdot2 - k\cdot1\bigr) =(k^2+2)-3(4-k) =k^2+2-12+3k =k^2+3k-10 =(k+5)(k-2).

Passo 3

Se \det(A)\neq0, ou seja k\neq2 e k\neq-5, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Para k=2\) temos \(\det(A)=0\). Subtraindo \(2\) vezes a primeira equação da segunda e a primeira da terceira obtemos \[\begin{cases} {\rm (R2')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=4,\\\ {\rm (R3')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=4, \end{cases}
ou seja as duas novas equações coincidem, de modo que o posto da matriz de coeficientes =2\] e o posto da matriz aumentada também \(=2. Logo o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 5

Para k=-5\) também \(\det(A)=0\). Fazendo eliminação similar: \[\begin{cases} {\rm (R2')}&0\cdot x_{1}-5x_{2}+5x_{3}=4,\\\ {\rm (R3')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=4. \end{cases}
As duas equações não são proporcionais, então o posto da matriz de coeficientes =2\] mas o posto da matriz aumentada \(=3. Assim o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para k\neq2 e k\neq-5 o sistema tem solução única.
Para k=2 o sistema tem infinitas soluções.
Para k=-5 o sistema não tem solução.

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