O enunciado dá o sistema linear com parâmetro k\):
\[\begin{cases} x_{1}-3x_{3}=-3,\\\\ 2x_{1}+kx_{2}-x_{3}=-2,\\\ x_{1}+2x_{2}+kx_{3}=1. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes e pelo posto da matriz aumentada. Vamos calcular (\det(A)] e, para os valores que o anulam, checar consistência por posto.
Passo 2
Escrevendo a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\\\ 2 & k & -1\\\\ 1 & 2 & k \end{pmatrix},
Se \det(A)\neq0, ou seja k\neq2 e k\neq-5, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
Passo 4
Para k=2\) temos \(\det(A)=0\). Subtraindo \(2\) vezes a primeira equação da segunda e a primeira da terceira obtemos
\[\begin{cases} {\rm (R2')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=4,\\\ {\rm (R3')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}+5x_{3}=4, \end{cases}
ou seja as duas novas equações coincidem, de modo que o posto da matriz de coeficientes =2\] e o posto da matriz aumentada também \(=2. Logo o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
Passo 5
Para k=-5\) também \(\det(A)=0\). Fazendo eliminação similar:
\[\begin{cases} {\rm (R2')}&0\cdot x_{1}-5x_{2}+5x_{3}=4,\\\ {\rm (R3')}&0\cdot x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=4. \end{cases}
As duas equações não são proporcionais, então o posto da matriz de coeficientes =2\] mas o posto da matriz aumentada \(=3. Assim o sistema é incompatível (sem solução).
Resposta
Para k\neq2 e k\neq-5 o sistema tem solução única.
Para k=2 o sistema tem infinitas soluções.
Para k=-5 o sistema não tem solução.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 57