(IME-14) Determine o(s) valor(es) de x, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) a equaçào x^{2}=\sum_{y=1}^{x}\left[\prod_{z=0}^{y=1}(y-z)\right].

Passo 1

O enunciado pede os valores inteiros e positivos de x que satisfazem
x^{2} \;=\;\sum_{y=1}^{x}\Bigl[\prod_{z=0}^{y-1}(y-z)\Bigr].
O conteúdo aqui envolve interpretar o produto como um fatorial e depois comparar com x^{2}.

Passo 2

Repare que
\prod_{z=0}^{y-1}(y-z)=y\,(y-1)\,(y-2)\cdots1 = y!,
pois estamos multiplicando todos os inteiros de 1 até y.

Passo 3

Logo a soma fica
\sum_{y=1}^{x}y! = 1! + 2! + 3! + \cdots + x!.
O problema reduz-se a resolver
x^{2} = \sum_{y=1}^{x}y!.

Passo 4

Testando x=1:
\text{LHS}=1^{2}=1, \quad \text{RHS}=1!=1,
logo funciona.

Passo 5

Testando x=2:
\text{LHS}=2^{2}=4, \quad \text{RHS}=1!+2!=1+2=3,
não bate.

Passo 6

Testando x=3:
\text{LHS}=3^{2}=9, \quad \text{RHS}=1!+2!+3!=1+2+6=9,
funciona.

Passo 7

Para x\ge4 temos
\sum_{y=1}^{x}y! \;\ge\;1!+2!+3!+4!=33 \quad\text{enquanto}\quad x^{2}\bigl|_{x=4}=16,
e para x>4 a diferença só aumenta, pois o termo x! cresce muito mais rápido do que x^{2}. Portanto não há mais soluções para x\ge4.

Resposta

Os valores inteiros e positivos de x que satisfazem a equação são
x=1\quad\text{e}\quad x=3.

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