(IME-93) Determine o valor de x para que \left|\begin{array}{cccc}x & 2 & 4 & 6 \\\ x & x+2 & 0 & 10 \\\ x^{2} & 0 & 4 x & 4 \\\ x & 4 & 10 & x-2\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x tais que a determinante da matriz
\begin{pmatrix} x & 2 & 4 & 6 \\\ x & x+2 & 0 & 10 \\\ x^{2} & 0 & 4x & 4 \\\ x & 4 & 10 & x-2 \end{pmatrix}
se anula. O conteúdo usado será cálculo de determinante por operações elementares em linhas e expansão por cofatores.

Passo 2

Aplicamos operações de linha que não alteram o valor do determinante:
L_2 \leftarrow L_2 - L_1,\quad L_4 \leftarrow L_4 - L_1.
Fica a matriz equivalente
\begin{pmatrix} x & 2 & 4 & 6 \\[6pt] 0 & x & -4 & 4 \\[6pt] x^2 & 0 & 4x & 4 \\[6pt] 0 & 2 & 6 & x-8 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Expandimos o determinante ao longo da primeira coluna. Só há entradas não nulas em L_1 e L_3, obtendo-se
D = x\cdot M_{11} \;+\; x^2\cdot M_{31},
onde M_{11} é o menor de ordem 3 que sobra ao cortar L_1,C_1 e M_{31} é o menor ao cortar L_3,C_1.

Passo 4

Calculamos
M_{11} = \begin{vmatrix} x & -4 & 4\\\\ 0 & 4x & 4\\\\ 2 & 6 & x-8 \end{vmatrix} =4\bigl(x^3 -8x^2 -14x -8\bigr).

Passo 5

Analogamente,
M_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6\\\ x & -4 & 4\\\\ 2 & 6 & x-8 \end{vmatrix} =-4\bigl(x^2 -15x -24\bigr).
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D = x\cdot4(x^3 -8x^2 -14x -8)\;+\;x^2\bigl[-4(x^2 -15x -24)\bigr] =4x\bigl(7x^2+10x-8\bigr).
Para D=0, vem
4x\,(7x^2+10x-8)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \quad\text{ou}\quad 7x^2+10x-8=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{-10\pm18}{14}=\frac{4}{7},\,-2.

Resposta

x=0,\;\dfrac{4}{7},\;-2
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