(ITA-21) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem impar. Suponha que
A é simétrica e que B é antissinétrica. Considere as seguintes afirmações:
I.
:
II. A comuta com qualquer matriz simétrica.
III. B comuta corn qualquer matriz antissimétrica.
IV.
:
É(săo) VERDADEIRA(S):
I.
II. A comuta com qualquer matriz simétrica.
III. B comuta corn qualquer matriz antissimétrica.
IV.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem ímpar
, com
simétrica (
) e
antissimétrica (
). Precisamos avaliar quatro afirmações envolvendo a expansão de
, comutação de matrizes simétricas e antissimétricas, e determinantes, usando:
- A fórmula geral
. - Fato de que não basta ser simétrica para duas matrizes comutarem.
- Propriedade
e que quando é antissimétrica de ordem ímpar.
Passo 2
Verificamos I:
Para que isto se torne
é preciso ter
, mas simétricas e antissimétricas não comutam em geral. Logo, I é falsa.
Passo 3
Verificamos II e III:
– II diz que comuta com qualquer matriz simétrica. Em geral, duas matrizes simétricas não comutam (são simultaneamente diagonalizáveis apenas se compartilharem autovetores). Portanto II é falsa.
– III diz que comuta com qualquer matriz antissimétrica. De modo análogo, duas antissimétricas também não comutam em geral. Logo III é falsa.
– II diz que
– III diz que
Passo 4
Verificamos IV:
. Como
é antissimétrica de ordem ímpar, vale o teorema que diz
Portanto
e IV é verdadeira.
Resposta
Apenas a afirmação IV é verdadeira.