(ITA-21) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem impar. Suponha que
A é simétrica e que B é antissinétrica. Considere as seguintes afirmações:
I. (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} :
II. A comuta com qualquer matriz simétrica.
III. B comuta corn qualquer matriz antissimétrica.
IV. \operatorname{det}(A B)=0 :
É(săo) VERDADEIRA(S):

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem ímpar n, com A simétrica ( A^{T}=A) e B antissimétrica ( B^{T}=-B). Precisamos avaliar quatro afirmações envolvendo a expansão de (A+B)^{2}, comutação de matrizes simétricas e antissimétricas, e determinantes, usando:
  1. A fórmula geral (A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
  2. Fato de que não basta ser simétrica para duas matrizes comutarem.
  3. Propriedade \det(AB)=\det(A)\det(B) e que \det(B)=0 quando B é antissimétrica de ordem ímpar.

Passo 2

Verificamos I:
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}.
Para que isto se torne A^{2}+2AB+B^{2} é preciso ter AB=BA, mas simétricas e antissimétricas não comutam em geral. Logo, I é falsa.

Passo 3

Verificamos II e III:
– II diz que A comuta com qualquer matriz simétrica. Em geral, duas matrizes simétricas não comutam (são simultaneamente diagonalizáveis apenas se compartilharem autovetores). Portanto II é falsa.
– III diz que B comuta com qualquer matriz antissimétrica. De modo análogo, duas antissimétricas também não comutam em geral. Logo III é falsa.

Passo 4

Verificamos IV:
\det(AB)=\det(A)\det(B). Como B é antissimétrica de ordem ímpar, vale o teorema que diz
\det(B)=0.
Portanto
\det(AB)=\det(A)\cdot0=0,
e IV é verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação IV é verdadeira.
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