(ITA-89) Sendo A=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -3 & 2 \\\\ 3 & -1 & -2\end{array}\right| então o elemento da terceira linha e primeira coluna, de sua inversa, será:

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -3 & 2\\\\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}
e pede o elemento da terceira linha e primeira coluna de A^{-1}.
Sabemos que
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\adj(A),
e que o elemento (i,j) de A^{-1} é
(A^{-1})_{ij} = \frac{C_{\,j,i}}{\det(A)},
onde C_{j,i} é o cofator de A na posição (j,i).

Passo 2

Vamos primeiro calcular \det(A) usando a expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & -2\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -2\end{pmatrix} =(-3)(-2)-2(-1)=6+2=8,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & -2\end{pmatrix} =0\cdot(-2)-2\cdot3= -6,
\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =0\cdot(-1)-(-3)\cdot3=9.
Portanto
\det(A)=1\cdot8 -2\cdot(-6) +(-1)\cdot9 =8+12-9=11.

Passo 3

Para obter (A^{-1})_{31} precisamos de C_{1,3}, o cofator na posição (1,3).
O menor M_{1,3} é o determinante de
\begin{pmatrix} 0 & -3\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix},
que já calculamos e deu 9.
O cofator é
C_{1,3} = (-1)^{1+3}M_{1,3}=(-1)^{4}\cdot9=9.

Passo 4

Aplicando a fórmula do inverso, o elemento (3,1) é
(A^{-1})_{31} = \frac{C_{1,3}}{\det(A)} = \frac{9}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{11}
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