(ITA-89) Sendo A=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -3 & 2 \\\\ 3 & -1 & -2\end{array}\right| então o elemento da terceira linha e primeira coluna, de sua inversa, será: Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -3 & 2\\\\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix} e pede o elemento da terceira linha e primeira coluna de A^{-1}. Sabemos que A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\adj(A), e que o elemento (i,j) de A^{-1} é (A^{-1})_{ij} = \frac{C_{\,j,i}}{\det(A)}, onde C_{j,i} é o cofator de A na posição (j,i). Passo 2Vamos primeiro calcular \det(A) usando a expansão pela primeira linha: \det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & -2\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ 3 & -1\end{pmatrix}. Agora cada determinante 2\times 2: \det\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -2\end{pmatrix} =(-3)(-2)-2(-1)=6+2=8, \det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 3 & -2\end{pmatrix} =0\cdot(-2)-2\cdot3= -6, \det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =0\cdot(-1)-(-3)\cdot3=9. Portanto \det(A)=1\cdot8 -2\cdot(-6) +(-1)\cdot9 =8+12-9=11. Passo 3Para obter (A^{-1})_{31} precisamos de C_{1,3}, o cofator na posição (1,3). O menor M_{1,3} é o determinante de \begin{pmatrix} 0 & -3\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}, que já calculamos e deu 9. O cofator é C_{1,3} = (-1)^{1+3}M_{1,3}=(-1)^{4}\cdot9=9. Passo 4Aplicando a fórmula do inverso, o elemento (3,1) é (A^{-1})_{31} = \frac{C_{1,3}}{\det(A)} = \frac{9}{11}. Resposta \displaystyle \frac{9}{11} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 58Ver Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados(UECE-14) Desenvolvendo o determinante abaixo, obtém-se uma equação do segundo grau. \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -x & 0 & 0 & 7 x \\\\ 0 & 5 & 0 & x \\\\ 0 & 0 & 5 & x \end{array}\right|=0 A raiz positiva desta equaçảo é A) 10 . B) 15 . C) 20 . D) 25 . (Unicamp-20) Sabendo que p é um número real, considere a matriz \mathrm{A}= A=\left[\begin{array}{ll}p & 2 \\\\ 0 & p\end{array}\right] e sua transposta A^{\top}. Se A+ \mathrm{A}^{\top} é singular (nāo invertível), então a) p=0 b) |p|=1 c) |p|=2 d) p=3 (ITA-86) Seja x \in \Re e A a matriz definida por A=\left[\begin{array}{cc} 1+\operatorname{sen} x & \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \\\ \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right) & \frac{1}{2} \end{array}\right] Se S é o conjunto dos x tais que A é uma matriz inversível, então podemos afirmar que: a) S é vazio b) S=\{k \pi / 2, k \in Z\} c) S=[0,2 \pi] d) S=\{k \pi, k \in Z\} e) S=[-\pi / 2, \pi / 2] (Escola Naval-05) Considere a .natriz quadrada \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{y}^{2} & 2 & 1 \\\\ -2 & 2 \mathrm{y}^{2} & -1 \\\\ 4 & 3 & 1\end{array}\right) onde y \in I R. O produto dos valores de y, para os quais o determinante de \underline{A} é igual a menor raiz da equação |x-3|=15 é a) 1 b) \frac{1}{2} c) -\frac{1}{2} d) -1 e) -\sqrt{2} (EsPCEx-93) Sejam A, B e C matrizes reais 3 \times 3 que satisfazem às seguintes condições: A . B=C^{-}'; B= (1/2)A. Se o determinante de C é 1 / 32, então o valor do módulo do determinante de A é: a) 1 / 8 b) 1 / 4 c) 8 d) 16 Ver TambémVer Livro Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição