(ITA-84) Sejam P, Q, R matrizes reais quadradas arbitrárias de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
I - se \mathrm{PQ}=\mathrm{PR}, então \mathrm{Q}=\mathrm{R}
II - se P^{3} è a matriz nula, entāo o determinante de P é zero
III - \mathrm{PQ}=\mathrm{QP}
Podemos afirmar que:
a) I é a única afírmação verdadeira
b) Il e Ill são afirmações verdadeiras
c) I e ll são afirmações verdadeiras
d) III é a única afirmação flalsa
e) I e III são afirmações falsas

Passo 1

O enunciado dá três matrizes reais quadradas de ordem n: P, Q e R, e pede para analisar a veracidade das afirmações
I – se P\,Q = P\,R, então Q=R
II – se P^3 é a matriz nula, então \det(P)=0
III – P\,Q = Q\,P
e escolher quais são verdadeiras.

Passo 2

Analisando I: “se P\,Q = P\,R, então Q=R”. Isso só vale quando P é invertível (pois daí podemos multiplicar à esquerda por P^{-1}). Como o enunciado não exige P invertível, podemos ter P\neq0 singular e P\,Q=P\,R mas Q\neq R. Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “se P^3 é a matriz nula, então \det(P)=0”. Como
\det(P^3)=\det(P)^3
e P^3=0 implica \det(P^3)=0, temos \det(P)^3=0 e, portanto, \det(P)=0. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “ P\,Q = Q\,P”. Em geral matrizes não comutam. Por exemplo, tomemos
P=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
então
P\,Q=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=Q\,P.
Portanto III é falsa.

Passo 5

Como I é falsa, II é verdadeira e III é falsa, a alternativa que afirma “I e III são afirmações falsas” é a correta.

Resposta

e) I e III são afirmações falsas.
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