(IME-04 CG) Determine para que valores de \alpha o determinante abaixo se anula.
\left|\begin{array}{ccc} \operatorname{sen} 2 \alpha & 0 & 0 \\\ \cos 2 \alpha & \cos \alpha & \operatorname{sen} \alpha \\\ \cos 2 \alpha & \operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de \alpha tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} \operatorname{sen} 2\alpha & 0 & 0\\\ \cos 2\alpha & \cos\alpha & \operatorname{sen}\alpha\\\ \cos 2\alpha & \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
se anule. Vamos usar expansão por cofatores (linha 1) e depois aplicar identidades trigonométricas.

Passo 2

Expandindo o determinante pela primeira linha, só o elemento \sen2\alpha contribui. Logo,
\det = \sen2\alpha \cdot \det\!\begin{pmatrix} \cos\alpha & \operatorname{sen}\alpha\\\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.

Passo 3

O determinante do 2\times2 é
\cos\alpha\cdot\cos\alpha \;-\;\operatorname{sen}\alpha\cdot\operatorname{sen}\alpha =\cos^2\!\alpha - \operatorname{sen}^2\!\alpha =\cos2\alpha.
Portanto
\det = \sen2\alpha\;\cos2\alpha.

Passo 4

Para que a expressão se anule, basta ter
\sen2\alpha\;\cos2\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sen2\alpha=0 \quad\text{ou}\quad \cos2\alpha=0.

Passo 5

Resolvendo cada caso:
  1. \sen2\alpha=0
2\alpha = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{k\pi}{2}.
  1. \cos2\alpha=0
2\alpha = \frac\pi2 + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}.

Resposta

Da união desses casos segue que
\alpha = \frac{k\pi}{2} \quad\text{ou}\quad \alpha = \frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z},
o que equivale a
\alpha = \frac{k\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.
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