(UFPI-03) Sejam A e B matrizes 2 \times 2 tais que \operatorname{det} \mathrm{A}=3 \mathrm{e} \operatorname{det} \mathrm{B}=5. Se x e y são números inteiros positivos, considere as matrizes \mathrm{M}=\mathrm{xA} e \mathrm{N}=\mathrm{yB}. Se \operatorname{det}(\mathrm{MN})=15, podemos afirmar corretamente que:
a) x-y=1
b) x y=15
c) x+y=3
d) x>y
e) x=y=1

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes 2\times2 com \det(A)=3 e \det(B)=5. Definimos as matrizes M = xA e N = yB, onde x e y são inteiros positivos, e sabemos que \det(MN)=15. O conteúdo aqui é a propriedade de determinante sob multiplicação de matrizes e sob multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 2

Lembrando que, para uma matriz C de ordem n e escalar c, vale
\det(c\,C) = c^n \det\text{(C)}.
Como A e B são 2\times2, temos
\det(M)=\det(xA)=x^2\det(A)=x^2\cdot3 \quad\text{e}\quad \det(N)=\det(yB)=y^2\det(B)=y^2\cdot5.

Passo 3

Também vale que \det(MN)=\det(M)\,\det(N). Logo,
\det(MN) = (x^2\cdot3)\,(y^2\cdot5) = 15\,x^2\,y^2.

Passo 4

O enunciado afirma que \det(MN)=15. Assim, devemos ter
15\,x^2\,y^2 = 15 \quad\Longrightarrow\quad x^2\,y^2 = 1.
Como x e y são inteiros positivos, a única forma de x^2y^2=1 é x=1 e y=1.

Passo 5

Verificando as alternativas:
a) x - y = 1 0, falso.
b) x\,y = 15 1, falso.
c) x + y = 3 2, falso.
d) x > y 1>1, falso.
e) x = y = 1, verdadeiro.

Resposta

e) x = y = 1
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