(ITA-87) Quaisquer que sejam os números reais a , b e c, o determinante da matriz \left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1+a & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1+c\end{array}\right| é dado por:
a) a b+a c+b c
b) abc
c) zero
d) a b c+1
e) 1

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[-6pt] 1 & 1+a & 1 & 1 \\[-6pt] 1 & 1 & 1+b & 1 \\[-6pt] 1 & 1 & 1 & 1+c \end{pmatrix}
O conteúdo é cálculo de determinante usando operações elementares de linha. Vamos triangularizar a matriz para facilitar o produto das entradas da diagonal.]

Passo 2

Aplicamos, para i=2,3,4, a operação de linha
R_i \leftarrow R_i - R_1,
que não altera o valor do determinante. Isso transforma M em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[-4pt] 0 & a & 0 & 0 \\[-4pt] 0 & 0 & b & 0 \\[-4pt] 0 & 0 & 0 & c \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora a matriz está triangular superior, cujo determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Logo,
\det(M) = 1 \cdot a \cdot b \cdot c = a b c.

Resposta

a b c
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