(IME-01) Prove que para qualquer número inteiro k, os números k e k^{5} terminam sempre com 0 mesmo algarismo (algarismo das unidades).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro k, o último dígito de k é igual ao último dígito de k^5. \r
Em Aritmética Modular, dizer que dois números têm o mesmo algarismo das unidades equivale a afirmar que eles são congruentes módulo 10. \r
Ou seja, queremos provar \r
k^5 \equiv k \pmod{10}.
Para isso, vamos estudar separadamente as congruências módulo 2 e módulo 5 e depois usar que 2 e 5 são primos entre si.

Passo 2

Verificamos primeiro a congruência módulo 2.
  • Se k é par, então k\equiv0\pmod{2} e logo k^5 \equiv 0^5 = 0 \equiv k \pmod{2}.
  • Se k é ímpar, então k\equiv1\pmod{2} e k^5 \equiv 1^5 = 1 \equiv k \pmod{2}.
Em ambos os casos obtém-se
k^5 \equiv k \pmod{2}.

Passo 3

Agora verificamos a congruência módulo 5.
  • Se 5\mid k, então k\equiv0\pmod{5} e k^5\equiv0^5=0\equiv k\pmod{5}.
  • Se \gcd(k,5)=1, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que k^4 \equiv 1 \pmod{5}.Multiplicando ambos os lados por k, vem k^5 \equiv k \pmod{5}.
Portanto, em todos os casos
k^5 \equiv k \pmod{5}.

Passo 4

Como 2 e 5 são primos entre si, a congruência simultânea
k^5 \equiv k \pmod{2} \quad\text{e}\quad k^5 \equiv k \pmod{5}
implica, pelo Teorema Chinês dos Resíduos, que
k^5 \equiv k \pmod{10}.
Isto mostra que k^5 e k têm o mesmo resto na divisão por 10, logo terminam com o mesmo algarismo das unidades.

Resposta

Fica provado que, para todo inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades.

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