(IME-01) Prove que para qualquer número inteiro
, os números
terminam sempre com 0 mesmo algarismo (algarismo das unidades).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, o último dígito de
é igual ao último dígito de
. \r
Em Aritmética Modular, dizer que dois números têm o mesmo algarismo das unidades equivale a afirmar que eles são congruentes módulo 10. \r
Ou seja, queremos provar \r
Em Aritmética Modular, dizer que dois números têm o mesmo algarismo das unidades equivale a afirmar que eles são congruentes módulo 10. \r
Ou seja, queremos provar \r
Para isso, vamos estudar separadamente as congruências módulo 2 e módulo 5 e depois usar que 2 e 5 são primos entre si.
Passo 2
Verificamos primeiro a congruência módulo 2.
- Se
é par, então e logo - Se
é ímpar, então e
Em ambos os casos obtém-se
Passo 3
Agora verificamos a congruência módulo 5.
- Se
, então e - Se
, aplicamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que Multiplicando ambos os lados por , vem
Portanto, em todos os casos
Passo 4
Como
e
são primos entre si, a congruência simultânea
implica, pelo Teorema Chinês dos Resíduos, que
Isto mostra que
e
têm o mesmo resto na divisão por
, logo terminam com o mesmo algarismo das unidades.
Resposta
Fica provado que, para todo inteiro
, os números
e
terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades.