(IME-68) No quadrilátero qualquer \mathrm{ABCD}, \mathrm{P} é o meio de AD e M é meio de BC . Unindo-se P a C e M a A, obtém-se o quadrilátero APCM. Sendo a área de \mathrm{ABCD}=18 \mathrm{~m}^{2}, calcular a área de APCM.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero qualquer ABCD com área \,18\text{ m}^2. O ponto P é o meio de AD e o ponto M é o meio de BC. Unindo P a C e M a A, formamos o quadrilátero APCM. O conteúdo é área de polígonos e uso do fato de que, em um triângulo, uma mediana divide a área ao meio.

Passo 2

Trace a diagonal AC dividindo ABCD em dois triângulos disjuntos: \triangle ABC e \triangle ADC. Então
\text{área}(ABCD)=\text{área}(\triangle ABC)+\text{área}(\triangle ADC).ááá

Passo 3

No triângulo \triangle ABC, M é o ponto médio de BC. A mediana AM divide esse triângulo em duas partes de mesma área. Logo
\text{área}(\triangle AMC)=\tfrac12\,\text{área}(\triangle ABC).áá

Passo 4

No triângulo \triangle ADC, P é o ponto médio de AD. A mediana PC divide esse triângulo em duas partes de mesma área. Logo
\text{área}(\triangle APC)=\tfrac12\,\text{área}(\triangle ADC).áá

Passo 5

O quadrilátero APCM é a união não sobreposta de \triangle AMC e \triangle APC. Portanto
\text{área}(APCM) =\text{área}(\triangle AMC)+\text{área}(\triangle APC) =\tfrac12\,\text{área}(\triangle ABC)+\tfrac12\,\text{área}(\triangle ADC) =\tfrac12\,\text{área}(ABCD).áááááá
Como \text{área}(ABCD)=18\text{ m}^2á, então
\text{área}(APCM)=\tfrac12\cdot18=9\text{ m}^2.á

Resposta

\,9\,\text{m}^2

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