(IME-86) Sabendo-se que x é um número real, -1 \leq x \leq 1,0 \leq \operatorname{arc} \cos x \leq \pi e n é um número inteiro positivo, mostre que a expressão f_{11}(x)=\cos (n \operatorname{arc} \cos x) pode ser desenvolvida como um polinômio em x, de grau n, cujo coeficiente do termo de mator grau é igual a 2^{\prime \prime}-1.

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle f_n(x)=\cos\bigl(n\operatorname{arccos} x\bigr)
com -1\le x\le1 e pede para mostrar que f_n(x) é um polinômio em x de grau n cujo coeficiente líder vale 2^{n-1}.
O conteúdo principal é usar a identidade trigonométrica de recorrência (identidade de Chebyshev) para construir f_n por indução.

Passo 2

Mostramos a identidade de recorrência a partir de
\cos\bigl((n+1)\theta\bigr) =\cos\bigl(n\theta+\theta\bigr) =\cos(n\theta)\cos\theta-\sin(n\theta)\sin\theta
e também
\cos\bigl((n-1)\theta\bigr) =\cos(n\theta)\cos\theta+\sin(n\theta)\sin\theta.
Somando essas duas expressões resulta
\cos\bigl((n+1)\theta\bigr)+\cos\bigl((n-1)\theta\bigr) =2\cos(n\theta)\cos\theta,
ou seja
\cos\bigl((n+1)\theta\bigr) =2\cos\theta\;\cos(n\theta)\;-\,\cos\bigl((n-1)\theta\bigr).
Em \theta=\operatorname{arccos} x obtemos a recorrência
f_{n+1}(x)=2x\,f_n(x)-f_{n-1}(x).

Passo 3

Verificamos as bases de indução:
  • Para n=0:
f_0(x)=\cos(0\cdot\operatorname{arccos} x)=\cos 0=1,
que é polinômio de grau 0.
  • Para n=1:
f_1(x)=\cos\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)=x,
que é polinômio de grau 1.

Passo 4

Supondo que f_{n-1} e f_n são polinômios de graus n-1 e n respectivamente, a recorrência
f_{n+1}(x)=2x\,f_n(x)-f_{n-1}(x)
é soma de 2x\cdot f_n(x) (grau n+1) com -f_{n-1}(x) (grau \le n-1), logo f_{n+1} é polinômio de grau exatamente n+1. Dessa forma, por indução, cada f_n é polinômio de grau n.

Passo 5

Seja a_n o coeficiente de x^n em f_n(x). Da recorrência, o único termo que gera grau n+1 em f_{n+1} vem de 2x\cdot f_n, com coeficiente
a_{n+1}=2\,a_n.
Como a_1=1, segue por iteração
a_n=2^{\,n-1}\quad(\forall\,n\ge1).

Resposta

Concluímos que
\displaystyle f_n(x)=\cos\bigl(n\operatorname{arccos} x\bigr)
é um polinômio de grau n em x e que o coeficiente do termo de maior grau é
2^{\,n-1}.

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