(IME-86) Sabendo-se que
é um número real,
e
é um número inteiro positivo, mostre que a expressão
pode ser desenvolvida como um polinômio em
, de grau
, cujo coeficiente do termo de mator grau é igual a
.
Passo 1
O enunciado define
com e pede para mostrar que
é um polinômio em
de grau
cujo coeficiente líder vale
.
O conteúdo principal é usar a identidade trigonométrica de recorrência (identidade de Chebyshev) para construir por indução.
com
O conteúdo principal é usar a identidade trigonométrica de recorrência (identidade de Chebyshev) para construir
Passo 2
Mostramos a identidade de recorrência a partir de
e também
Somando essas duas expressões resulta
ou seja
Em
obtemos a recorrência
Passo 3
Verificamos as bases de indução:
- Para
:
que é polinômio de grau
.
- Para
:
que é polinômio de grau
.
Passo 4
Supondo que
e
são polinômios de graus
e
respectivamente, a recorrência
é soma de
(grau
) com
(grau
), logo
é polinômio de grau exatamente
. Dessa forma, por indução, cada
é polinômio de grau
.
Passo 5
Seja
o coeficiente de
em
. Da recorrência, o único termo que gera grau
em
vem de
, com coeficiente
Como
, segue por iteração
Resposta
Concluímos que
é um polinômio de grau em
e que o coeficiente do termo de maior grau é
é um polinômio de grau