(UECE-16) Se n é um número natural maior do que dois, ao ordenarmos o desenvolvimento de \left[x^{2}+\frac{1}{2 x}\right]^{n}
segundo as potências decrescentes de x , verificamos que os coeficientes dos très primeiros termos estão em progressão aritmética. Nessas condições, o valor de n é
A) 8 .
B) 6 .
C) 4 .
D) 10 .

Passo 1

O enunciado pede para expandirmos
\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2x}\Bigr)^{n}
pelas potências decrescentes de x e verificar que os coeficientes dos três primeiros termos formam uma progressão aritmética. Para isso, vamos usar o Teorema Binomial para obter os coeficientes correspondentes a k=0,1,2 e impor a condição de PA.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o termo geral é
\binom{n}{k}(x^{2})^{\,n-k}\Bigl(\tfrac{1}{2x}\Bigr)^{k} =\binom{n}{k}\frac{x^{2(n-k)}}{2^{k}x^{k}} =\binom{n}{k}\frac{1}{2^{k}}\,x^{2n-3k}.
Assim, os três primeiros termos (para k=0,1,2) têm coeficientes:
a_{0}=\binom{n}{0}\frac{1}{2^{0}}=1, \quad a_{1}=\binom{n}{1}\frac{1}{2^{1}}=\frac{n}{2}, \quad a_{2}=\binom{n}{2}\frac{1}{2^{2}}=\frac{n(n-1)}{8}.

Passo 3

Como a_{0},a_{1},a_{2} estão em progressão aritmética, vale
2a_{1}=a_{0}+a_{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot\frac{n}{2}=1+\frac{n(n-1)}{8}.
Multiplicando ambos os lados por 8:
8n = 8 + n(n-1) \quad\Longrightarrow\quad n^{2}-9n+8=0 \quad\Longrightarrow\quad (n-1)(n-8)=0.
Como n>2, temos n=8.

Resposta

8

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