(ITA-73) Sejam n \in \mathrm{~N}^{+}, p \in \mathrm{~N} onde \mathrm{N}=\{0,1,2, \ldots\}, \mathrm{N}^{+}=\{1,2,3, \ldots\}. Então \sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-n}(-1)^{p}(-1)^{n-p}\binom{n}{p} vale:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma
\sum_{p=1}^{n}(-1)^{p-n}(-1)^{p}(-1)^{n-p}\binom{n}{p},
onde n\in\mathbb{N}^+. O conteúdo envolvido é soma de binomiais com sinais alternados, e vamos usar simplificação de potências de -1 e o Teorema do Binômio.

Passo 2

Simplificamos o produto de fatores (-1). A soma dos expoentes é
(p-n) + p + (n-p) = p-n + n + p - p = p,
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(-1)^{p-n}(-1)^{p}(-1)^{n-p} = (-1)^p.
A soma fica
\sum_{p=1}^{n}(-1)^p\binom{n}{p}.

Passo 3

Reconhecemos que
\sum_{p=0}^{n}(-1)^p\binom{n}{p} = (1-1)^n = 0,
já que n\ge1. Mas queremos a soma de p=1 a n, ou seja, tiramos o termo p=0.

Passo 4

O termo para p=0 é (-1)^0\binom{n}{0}=1. Logo
\sum_{p=1}^{n}(-1)^p\binom{n}{p} = \sum_{p=0}^{n}(-1)^p\binom{n}{p} \;-\; 1 = 0 - 1 = -1.

Resposta

(a) -1

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