(ITA-89) Considere o desenvolvimento (x+y)^{10}=A_{1} x^{10}+ \mathrm{A}_{2} \mathrm{x}^{7} \mathrm{y}+\ldots, onde x e y são números reais. A oitava parcela do lado direito é igual a \frac{405}{2}\left(\log _{k} 2\right)^{3}, para algum k>1, x=\frac{2 \log _{2} k}{\sqrt{\log _{k} 2}} e y=\frac{\sqrt{\log _{k} 2}}{2 \log _{2} k}. Neste caso:
a) k^{2}=2
b) k^{2}=3
c) \mathrm{k}^{3}=2
d) k^{3}=7

Passo 1

O enunciado nos dá o desenvolvimento de (x+y)^{10} pela fórmula do binômio de Newton, em que a oitava parcela é
A_{8}\,x^{10-7}y^{7}=A_{8}\,x^{3}y^{7}
e afirma que esse termo vale \tfrac{405}{2}\bigl(\log_{k}2\bigr)^{3}. Sabemos que
A_{8} = \binom{10}{7} = 120
e que
x=\frac{2\log_{2}k}{\sqrt{\log_{k}2}},\quad y=\frac{\sqrt{\log_{k}2}}{2\log_{2}k}.
O conteúdo é combinação de binômio com manipulação de logaritmos.

Passo 2

Escrevemos a igualdade para a oitava parcela:
120\,x^{3}y^{7} = \frac{405}{2}\bigl(\log_{k}2\bigr)^{3}.
Logo
x^{3}y^{7} = \frac{405/(2)}{120}\,\bigl(\log_{k}2\bigr)^{3} = \frac{405}{240}\,\bigl(\log_{k}2\bigr)^{3} = \frac{27}{16}\,\bigl(\log_{k}2\bigr)^{3}.

Passo 3

Para simplificar x e y, note que
\log_{2}k = \frac{1}{\log_{k}2}.
Defina L = \log_{k}2. Então
x = \frac{2\,(1/L)}{\sqrt{L}} = 2\,L^{-3/2}, \quad y = \frac{\sqrt{L}}{2\,(1/L)} = \frac{L^{3/2}}{2}.

Passo 4

Calculemos x^{3}y^{7}:
x^{3} = \bigl(2\,L^{-3/2}\bigr)^{3} = 8\,L^{-9/2}, \quad y^{7} = \Bigl(\frac{L^{3/2}}{2}\Bigr)^{7} = \frac{L^{21/2}}{2^{7}} = \frac{L^{21/2}}{128}.
Multiplicando,
x^{3}y^{7} = 8\cdot\frac{1}{128}\,L^{-9/2+21/2} = \frac{1}{16}\,L^{6}.

Passo 5

Igualando ao resultado do Passo 2, temos
\frac{1}{16}\,L^{6} = \frac{27}{16}\,L^{3} \;\Longrightarrow\; L^{6} = 27\,L^{3} \;\Longrightarrow\; L^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; L = 3.
Como L = \log_{k}2, obtemos
\log_{k}2 = 3 \;\Longrightarrow\; k^{3} = 2.

Resposta

c) \mathrm{k}^{3}=2

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