(IME-67) Seja 64 a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (x+y)^{\text {mn }}, onde m é um número natural. Supondo-se a e b números positivos, o terceiro e o sétimo termos do desenvolvimento de (a + b) { }^{\text {m }}
segundo as potências decrescentes de b serào T_{3}=60 e T_{7}=64. Determine a c b.
Exercícios Gerais

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos coeficientes de (x+y)^{mn} é 64 e que, no desenvolvimento de (a+b)^{m} em potências decrescentes de b, o terceiro termo é T_{3}=60 e o sétimo termo é T_{7}=64.
Conteúdo: Teorema do Binômio (soma dos coeficientes e termo geral).

Passo 2

A soma dos coeficientes de (x+y)^{mn} é
2^{mn}=64
Logo
mn=6.
Como m é natural e, no desenvolvimento de (a+b)^{m}, existe o sétimo termo, é necessário m\ge6. A única fatoração de 6 com m\ge6 é
m=6,\quad n=1.

Passo 3

No desenvolvimento de (a+b)^{6} em potências decrescentes de b, o termo T_{k} é
T_{k}=\binom{6}{k-1}\,a^{6-(k-1)}\,b^{\,k-1}.
Para k=3 e k=7 temos:
T_{3}=\binom{6}{2}a^{4}b^{2}=60, \qquad T_{7}=\binom{6}{6}a^{0}b^{6}=b^{6}=64.

Passo 4

Da segunda igualdade b^{6}=64 segue b=2 (positivo). Substituindo em T_{3}:
15\,a^{4}\,2^{2}=60 \quad\Longrightarrow\quad 15\cdot4\,a^{4}=60 \quad\Longrightarrow\quad a^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=1
(considerando a>0).

Resposta

a=1 e b=2.

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