(IME-71) Calcule o coeficiente de x^{6} no desenvolvimento de \left(1+x+x^{2}\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^6 em (1+x+x^2)^5. Para isso usamos o Teorema Multinomial, que diz:
(1+x+x^2)^5 \;=\;\sum_{a+b+c=5} \frac{5!}{a!\,b!\,c!}\,1^a\,x^b\,(x^2)^c
Cada termo dessa soma é \frac{5!}{a!\,b!\,c!}x^{\,b+2c}. Queremos, portanto, os casos em que b+2c=6.

Passo 2

Precisamos encontrar inteiros não negativos a,b,c tais que
a+b+c=5, \qquad b+2c=6.

Passo 3

Da segunda equação vem b=6-2c. Substituindo em a+b+c=5 obtemos
a = 5 - (6-2c) - c = -1 + c.
Como a\ge0 resulta c\ge1, e como b\ge0 resulta 6-2c\ge0\implies c\le3. Logo as possibilidades são
(a,b,c) = (0,4,1),\;(1,2,2),\;(2,0,3).

Passo 4

Cada tripla contribui com
\frac{5!}{a!\,b!\,c!}.
Para (0,4,1) isso é
\frac{5!}{0!\,4!\,1!}=\frac{120}{24}=5,
para (1,2,2) temos
\frac{5!}{1!\,2!\,2!}=\frac{120}{4}=30,
e para (2,0,3)
\frac{5!}{2!\,0!\,3!}=\frac{120}{12}=10.
Somando as contribuições, o coeficiente de x^6 é 5+30+10=45.

Resposta

O coeficiente de x^6 em (1+x+x^2)^5 é 45.

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