(IME-71) Calcule o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente de
em
. Para isso usamos o Teorema Multinomial, que diz:
Cada termo dessa soma é
. Queremos, portanto, os casos em que
.
Passo 2
Precisamos encontrar inteiros não negativos
tais que
Passo 3
Da segunda equação vem
. Substituindo em
obtemos
Como
resulta
, e como
resulta
. Logo as possibilidades são
.
Passo 4
Cada tripla contribui com
Para
isso é
para
temos
e para
Somando as contribuições, o coeficiente de
é
.
Resposta
O coeficiente de
em
é 45.