(IME-98) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, impares, positivos ou negativos, é igual a 7^{3}. Determine os termos desta soma.

Solução:

Suponha que o primeiro termo da sequência é a_{0}=k e que existem n+1 números na sequència. Assim estes números formam uma PA de razão cujo último termo é dado por a_{n}=a_{n}+n r=k+2 n.
Assim: 7^{3}=\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{u}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)(\mathrm{n}+\mathrm{l})}{2}=\frac{(2 \mathrm{k}+2 \mathrm{n})(\mathrm{n}+\mathrm{l})}{2}=(\mathrm{n}+\mathrm{k})(\mathrm{n}+\mathrm{l}).
Deste modo, existem as seguintes possibilidades:
i) n+l=l e n+k=7^{3} \Rightarrow n=0 e k=7^{3} \Rightarrow sequência dada pelo número 7^{3}.
ii) n+1=7 e n+k=7^{2} \Rightarrow n=6 e k=43 \Rightarrow sequência: (43,45,47,49,51,53,55).
iii) n+l=7^{2} e n+k=7 \Rightarrow n=48 e k=-4 l \Rightarrow sequência: (-41,-39,-37, \ldots, 55).
iv) n+1=7^{3} e n+k=1 \Rightarrow n=342 e k=-341 \Rightarrow sequência: (-341, -339, -337, …, 343).

Passo 1

O enunciado pede todos os somatórios de números ímpares consecutivos (positivos ou negativos) que resultam em \,7^3=343. Vamos usar o fato de que uma sequência de termos ímpares consecutivos é uma progressão aritmética (PA) de razão \,2.

Passo 2

Seja \,k o primeiro termo (ímpar inteiro) e \,m o número de termos. Como a razão é \,2, o último termo é k+2(m-1). A soma \,S desses m termos vale
S = \frac{m\bigl(k + (k+2(m-1))\bigr)}{2} = m\bigl(k + (m-1)\bigr).
Queremos S=343, então
m\bigl(k + (m-1)\bigr)=343.

Passo 3

Note que 343=7^3. Assim, os únicos pares de inteiros positivos (m,p) com m\,p=343 são
(1,343), (7,49), (49,7) e (343,1).
Aqui definimos p = k + (m-1). Cada par dará uma solução diferente.

Passo 4

Caso m=1: então p=343 e k+(1-1)=k=343. A sequência tem um termo:
(343).
Caso m=7: então p=49 e k+6=49 implica k=43. Os 7 termos são
(43,45,47,49,51,53,55).
Caso m=49: então p=7 e k+48=7 implica k=-41. Os 49 termos vão de -41 a 55 de dois em dois:
(-41,-39,\dots,55).
Caso m=343: então p=1 e k+342=1 implica k=-341. Os 343 termos vão de -341 até 343 de dois em dois:
(-341,-339,\dots,343).

Resposta

(343)
(43,45,47,49,51,53,55)
(-41,-39,\ldots,55)
(-341,-339,\ldots,343)

Exercícios de Livros Relacionados