(IME-98) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, impares, positivos ou negativos, é igual a
. Determine os termos desta soma.
Solução:
Suponha que o primeiro termo da sequência é
e que existem
números na sequència. Assim estes números formam uma PA de razão cujo último termo é dado por
.
Assim:
.
Deste modo, existem as seguintes possibilidades:
i)
e
e
sequência dada pelo número
.
ii)
e
e
sequência:
.
iii)
e
e
sequência:
.
iv)
e
e
sequência: (-341, -339, -337, …, 343).
Deste modo, existem as seguintes possibilidades:
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado pede todos os somatórios de números ímpares consecutivos (positivos ou negativos) que resultam em
. Vamos usar o fato de que uma sequência de termos ímpares consecutivos é uma progressão aritmética (PA) de razão
.
Passo 2
Seja
o primeiro termo (ímpar inteiro) e
o número de termos. Como a razão é
, o último termo é
. A soma
desses
termos vale
Queremos
, então
Passo 3
Note que
. Assim, os únicos pares de inteiros positivos
com
são
,
,
e
.
Aqui definimos . Cada par dará uma solução diferente.
Aqui definimos
Passo 4
Caso
: então
e
. A sequência tem um termo:
.
Caso
: então
e
implica
. Os 7 termos são
.
Caso
: então
e
implica
. Os 49 termos vão de
a
de dois em dois:
.
Caso
: então
e
implica
. Os 343 termos vão de
até
de dois em dois:
.