Provar que se os números a, b, c formam nesta ordem uma PA, então o mesmo ocorre com os números a^{2}(b+c), b^{2}(a+c) e c^{2}(a+b).

Solução:

Se ( a, b, c ) é uma PA então a+c=2 b. Consequentemente:
a^{2}(b+c)+c^{2}(a+b)=a^{2} b+a^{2} c+c^{2} a+c^{2} b=a^{2} b+c^{2} b+a c(a-c)=a^{2} b+c^{2} b+2 a b c= =b\left(a^{2}+c^{2}+2 a c\right)=b(a+c)^{2}=b(a+c)(a+c)=2 b^{2}(a+c)
Desta forma, como a^{2}(b+c)+c^{2}(a+b)=2\left[b^{2}(a+c)\right], segue diretamente que os números a^{2}(b+c), b^{2}(a+c) e c^{2}(a+b) formam uma PA.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (a,b,c) é uma progressão aritmética, então os números
a^{2}(b+c),\quad b^{2}(a+c),\quad c^{2}(a+b)
também formam uma progressão aritmética. Vamos usar a definição de PA: três números x,y,z estão em PA se, e somente se,
x+z=2y.

Passo 2

Como (a,b,c) é PA, vale
b=\frac{a+c}{2}\quad\Longrightarrow\quad a+c=2b.

Passo 3

Para verificar a condição de PA nos números pedidos, calculemos a soma do primeiro com o terceiro termo:
a^{2}(b+c)+c^{2}(a+b) \;=\;a^{2}b+a^{2}c+c^{2}a+c^{2}b.

Passo 4

Agrupando termos comuns em b e em ac, temos
a^{2}b+a^{2}c+c^{2}a+c^{2}b =b\bigl(a^{2}+c^{2}\bigr)+ac\,(a+c).
Como a+c=2b, segue
b\bigl(a^{2}+c^{2}\bigr)+ac\,(a+c) =b\bigl(a^{2}+c^{2}\bigr)+2abc =b\bigl(a^{2}+2ac+c^{2}\bigr) =b\,(a+c)^{2}.
E ainda
b\,(a+c)^{2} =b\,(2b)\,(a+c) =2\,b^{2}\,(a+c).
Portanto
a^{2}(b+c)+c^{2}(a+b) =2\bigl[b^{2}(a+c)\bigr],
isto é, a soma do primeiro com o terceiro termo é duas vezes o segundo.

Resposta

Como
a^{2}(b+c)+c^{2}(a+b) =2\bigl[b^{2}(a+c)\bigr],
os números a^{2}(b+c),\,b^{2}(a+c),\,c^{2}(a+b) formam uma progressão aritmética.

Exercícios de Livros Relacionados