(IME-05) Sejam a, b, c e d números rcais positivos e diferentes de 1 . sabendo que \log _{a} d, \log _{b} d e \log _{c} d são termos consecutivos de uma progressão aritmética. demonstre que: c^{2}=(a c)^{\log _{a} b}

Passo 1

O enunciado diz que as quantidades
\log_{a}d, \log_{b}d e \log_{c}d
são termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Queremos usar propriedades de logaritmo e a condição de PA para chegar em
c^{2} = (a\,c)^{\log_{a}b}.

Passo 2

Usamos a mudança de base para escrever \log_{b}d e \log_{c}d em função de \log_{a}d.
\log_{b}d = \frac{\log_{a}d}{\log_{a}b}, \qquad \log_{c}d = \frac{\log_{a}d}{\log_{a}c}.
Definimos
\displaystyle A = \log_{a}b e \displaystyle C = \log_{a}c.
Então
\log_{b}d = \frac{\log_{a}d}{A}, \qquad \log_{c}d = \frac{\log_{a}d}{C}.

Passo 3

Na PA vale
2\,\log_{b}d = \log_{a}d + \log_{c}d.
Substituindo as expressões do passo anterior:
2\cdot\frac{\log_{a}d}{A} = \log_{a}d + \frac{\log_{a}d}{C}.
Como \log_{a}d\neq0, dividimos ambos os lados por \log_{a}d:
\frac{2}{A} = 1 + \frac{1}{C}.

Passo 4

Resolvendo \tfrac{2}{A} = 1 + \tfrac{1}{C} para C:
\frac{2}{A} - 1 = \frac{1}{C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2 - A}{A} = \frac{1}{C} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{A}{2 - A}.

Passo 5

Como c = a^{\log_{a}c} = a^{C}, temos
c = a^{\frac{A}{2 - A}}.
Elevando ambos os lados a 2 - A,
c^{\,2 - A} = a^{A}.
Reescrevendo a^{A} = (a\,c)^{A}\,c^{-A}
c^{2-A} = \frac{(a\,c)^{A}}{c^{A}} \quad\Longrightarrow\quad c^{2} = (a\,c)^{A}.
Mas A = \log_{a}b, logo
c^{2} = (a\,c)^{\log_{a}b},
como queríamos demonstrar.

Resposta

c^{2} = (a\,c)^{\log_{a}b}.

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