(IME-05) Sejam
, c e d números rcais positivos e diferentes de 1 . sabendo que
e
são termos consecutivos de uma progressão aritmética. demonstre que:
Passo 1
O enunciado diz que as quantidades
,
e
são termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Queremos usar propriedades de logaritmo e a condição de PA para chegar em
são termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Queremos usar propriedades de logaritmo e a condição de PA para chegar em
Passo 2
Usamos a mudança de base para escrever
e
em função de
.
Definimos
e
.
Então
Então
Passo 3
Na PA vale
Substituindo as expressões do passo anterior:
Como
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Resolvendo
para
:
Passo 5
Como
, temos
Elevando ambos os lados a
,
Reescrevendo
dá
Mas
, logo
como queríamos demonstrar.