(ITA-89) Se num quadrilátero convexo de área S, o ângulo entre as diagonais mede \pi / 6 radianos, então o produto do comprimento destas diagonais é igual a:
a) S
b) 2 S
c) 3 S
d) 4 S
e) 5 S

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero convexo de área S e pede o produto dos comprimentos das diagonais, digamos p e q, sabendo que o ângulo entre elas é \pi/6. O que precisamos usar é a fórmula da área de um quadrilátero em função das diagonais e do seno do ângulo entre elas.

Passo 2

Em geometria plana existe a relação
S = \tfrac12\,p\,q\,\sin\theta,
onde p e q são os comprimentos das diagonais e \theta é o ângulo entre elas.

Passo 3

Aqui temos \theta = \pi/6, e \sin(\pi/6)=\tfrac12. Substituindo,
S = \tfrac12\,p\,q\,\bigl(\tfrac12\bigr) = \tfrac14\,p\,q.

Passo 4

Isolando o produto p\,q,
p\,q = 4\,S.

Resposta

4\,S (alternativa d)

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