Na Índia, as placas de identificação de veículos começam com um código que identifica o estado e o distrito onde o veículo está registrado, e esse código é seguido por uma identificação numérica de quatro dígitos. Esses números de identificação são dados sequencialmente, começando com 0000, 0001, 0002 etc. Uma vez que essa sequência alcança 9999, uma letra do conjunto A, ldots, Z é acrescentada (em ordem), e uma vez que essas acabam, letras adicionais são acrescentadas, e assim por diante. Portanto, a sequência de números de identificação prossegue da seguinte forma: 0000,0001, …,9999, A0000, A0001,…, A9999, B0000, B0001, …, B9999, …, Z0000, Z0001,…, Z9999, AA0000, AA0001, …
(a) Quantos números de identificação existem usando duas ou menos letras?
(b) Se um distrito registra 10 milhões de carros, quantos números de identificação devem ter três letras?
(c) Suponha que um distrito registra 500.000 carros. Qual a porcentagem dos números de identificação com apenas uma letra?
(d) Suponha que um distrito registra 500.000 carros. Qual a porcentagem dos números de identificação sem nenhuma letra?
(e) Suponha que você veja uma placa em Bangalore, Índia, com o número de identificação CR7812. Quantos veículos foram registrados antes do veículo com essa placa?

Passo 1

O enunciado diz que os números de identificação são compostos de uma sequência de k letras (de k=0,1,2,dots) tiradas de A,dots, Z seguidas por quatro dígitos que vão de 0000 até 9999. Para cada prefixo de k letras há exatamente 10^4 combinações numéricas. Vamos usar isso para contar quantos códigos há com 0,1,2,3 letras e responder às perguntas.

Passo 2

(a) O total de códigos com até duas letras é
10^4;+;26cdot10^4;+;26^2cdot10^4 ;=;10^4,(1+26+26^2) ;=;10^4cdot703 ;=;7,030,000

Passo 3

(b) Se o distrito registra 10 milhões ( 10,000,000) de carros, ele usará primeiro os 7,030,000 códigos com até duas letras e depois precisará de códigos com três letras. Logo a quantidade com três letras é
10,000,000 ;-;7,030,000 ;=;2,970,000

Passo 4

(c) Para os primeiros 500,000 carros, a distribuição é:
10,000 códigos sem letra (0000 a 9999),
26cdot10^4=260,000 códigos com uma letra,
– o restante até 500,000 cai em códigos com duas letras.
Assim, há 260,000 códigos de exatamente uma letra dentre os 500,000, ou
260,000500,000=0,52=52%

Passo 5

(d) Dos mesmos 500,000 primeiros códigos, apenas 10,000 não têm letra. Então a porcentagem sem letra é
10,000500,000=0,02=2%

Passo 6

(e) Para a placa CR7812 (duas letras: C e R), contamos quantos códigos vêm antes dela:
  1. todos os 10,000 códigos sem letra;
  2. todos os 26cdot10^4=260,000 códigos com uma letra;
  3. entre os códigos com duas letras, todos os prefixos cuja primeira letra é menor que C: isso dá 2 opções (A,B) times26 segundas letras times10^4=52cdot10^4=520,000;
  4. ainda entre duas letras, com primeira letra C e segunda antes de R (A–Q são 17 letras) times10^4=17cdot10^4=170,000;
  5. finalmente, dentro de CR, os números de 0000 até 7811 são 7,812 veículos antes de CR7812.
    Somando:
10,000 + 260,000 + 520,000 + 170,000 + 7,812 = 967,812

Resposta

(a) 7,030,000
(b) 2,970,000
(c) 52%
(d) 2%
(e) 967,812

Exercícios de Livros Relacionados