Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
|lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0|=-2|lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1|

Passo 1

O enunciado pede para justificar sem desenvolver em cofatores a igualdade
|ccc 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 | = -2, |ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 |
Usaremos as propriedades de determinante relativas a troca de linhas, multiplicação de linha por escalar e o valor do determinante da identidade.

Passo 2

Chame I3 a matriz identidade de ordem 3, para a qual vale
det(I3)=1
Se trocamos as linhas 2 e 3 de I3, obtemos
B = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Pelo teorema que diz que a troca de duas linhas muda o sinal do determinante, temos
det(B)=-det(I3)

Passo 3

A matriz dada
A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0
é obtida de B multiplicando a segunda linha de B por 2. Pelo teorema que afirma que multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k, segue
det(A)=2,det(B)

Passo 4

Combinando os resultados e lembrando que det(I3)=1, obtemos
det(A) =2l(-det(I3)r) =-2cdot1 =-2,
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det(A)=-2,det(I3)

Resposta

Troca de duas linhas inverte o sinal do determinante.
Multiplicação de uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar.
O determinante da matriz identidade In é 1.

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