Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
|rrr1 & 2 & 3 4 & 2 & 18 5 & 9 & -12|=6|rrr1 & 2 & 1 2 & 1 & 3 5 & 9 & -4|

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo.
Temos a igualdade
gl|rrr 1 & 2 & 3 4 & 2 & 18 5 & 9 & -12 gr| = 6, gl|rrr 1 & 2 & 1 2 & 1 & 3 5 & 9 & -4 gr|
O que nos pedem é indicar quais teoremas sobre determinantes justificam essa igualdade, sem desenvolver por cofatores. O conteúdo envolve as propriedades de homogeneidade do determinante: se multiplicamos uma linha (ou coluna) por escalar, o determinante é multiplicado por esse escalar.

Passo 2

Aplicação na coluna 3.
Começamos com
B= 1 & 2 & 1 2 & 1 & 3 5 & 9 & -4
Pelo Teorema “multiplicar uma coluna por constante”, se multiplicamos a coluna 3 de B por 3, obtemos a matriz
M1= 1 & 2 & 3 2 & 1 & 9 5 & 9 & -12
e
det(M1)=3,det(B)

Passo 3

Aplicação na linha 2.
Agora, em M1, multiplicamos a segunda linha por 2. Pelo Teorema “multiplicar uma linha por constante”, isso gera
M2= 1 & 2 & 3 4 & 2 & 18 5 & 9 & -12
e
det(M2)=2,det(M1)
Note que M2 é exatamente a matriz do determinante à esquerda da igualdade do enunciado.

Passo 4

Conclusão da igualdade.
Juntando os dois fatores,
det(M2)=2,(3,det(B))=6,det(B),
ou seja
gl|rrr 1 & 2 & 3 4 & 2 & 18 5 & 9 & -12 gr| =6, gl|rrr 1 & 2 & 1 2 & 1 & 3 5 & 9 & -4 gr|

Resposta

Os teoremas usados foram as propriedades de homogeneidade do determinante, isto é:
  1. “Se uma coluna é multiplicada por um escalar k, o determinante é multiplicado por k”.
  2. “Se uma linha é multiplicada por um escalar k, o determinante é multiplicado por k”.

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