Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
|rrrr0 & 5 & 0 & 6 2 & 1 & 0 & 8 0 & 2 & 0 & -9 0 & 6 & 0 & 4|=0

Passo 1

O determinante
0 & 5 & 0 & 6 2 & 1 & 0 & 8 0 & 2 & 0 & -9 0 & 6 & 0 & 4
apresenta a terceira coluna composta apenas por zeros, ou seja, é a coluna (0,0,0,0)^T. Para concluir que esse determinante vale zero, precisamos usar propriedades do determinante que tratam de colunas nulas e de colunas linearmente dependentes.

Passo 2

Aplicamos o teorema
“Se uma coluna (ou linha) de um determinante é nula, então o valor do determinante é zero.”
Como a terceira coluna é toda zero, concluímos imediatamente que o determinante é zero.

Passo 3

Alternativamente, podemos invocar o teorema
“Se as colunas (ou linhas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante vale zero.”
Aqui a terceira coluna é múltiplo escalar (zero) de qualquer outra, logo há dependência linear e o determinante se anula.

Resposta

Usa-se o teorema do determinante com coluna nula e/ou o teorema do determinante nulo quando as colunas são linearmente dependentes, o que justifica que
0 & 5 & 0 & 6 2 & 1 & 0 & 8 0 & 2 & 0 & -9 0 & 6 & 0 & 4 =0

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