Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
Passo 1
O enunciado pede para justificar, por meio de teoremas sobre determinantes, a igualdade
sem fazer expansão em cofatores. O conteúdo necessário é a propriedade de permutação de linhas de um determinante, em particular o fato de que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante e que, de modo geral, permutar as linhas segundo uma permutação multiplica o determinante por .
Passo 2
Note que a passagem da matriz original para a matriz à direita corresponde a enviar
linha 1mapstolinha 3, linha 2mapstolinha 1, linha 3mapstolinha 2,
ou seja, à aplicação da permutação cíclica sigma=(1;2;3) sobre as linhas.
Passo 3
Pelo teorema de permutação de linhas, se aplicamos uma permutação às linhas de um determinante, seu valor é multiplicado por . Como é um ciclo de comprimento , ele se decompõe em transposições (por exemplo, trocar linha e depois linha ), logo
Resposta
A igualdade vale porque a operação é uma permutação cíclica de três linhas, cuja assinatura é . Em termos de teoremas: ) Teorema da permutação de linhas: permutar as linhas segundo multiplica o determinante por . ) Teorema da troca de duas linhas: toda transposição troca o sinal do determinante.
Como a permutação é produto de duas transposições, o determinante permanece inalterado.
Cálculo - Dennis G. Zill e Michael R. Cullen - Matemática Avançada para Engenharia - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 2.2.5 - Ex. 6