Inscreva num círculo um retângulo de área
. Mostre que esse retângulo é um quadrado.
Passo 1
O enunciado pede para inscrever no interior de uma circunferência um retângulo de área máxima e mostrar que esse retângulo é um quadrado.
Conteúdo usado: geometria (o fato de que o retângulo inscrito tem a sua diagonal igual ao diâmetro do círculo) e desigualdade da média aritmética e geométrica (AM–GM) para concluir onde ocorre o máximo de área.
Conteúdo usado: geometria (o fato de que o retângulo inscrito tem a sua diagonal igual ao diâmetro do círculo) e desigualdade da média aritmética e geométrica (AM–GM) para concluir onde ocorre o máximo de área.
Passo 2
Seja o círculo de raio
. Denotemos as metades dos lados do retângulo por
e
, de modo que o retângulo tenha comprimento total
e largura total
. Como os quatro vértices do retângulo estão sobre a circunferência, a diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo. Pelo teorema de Pitágoras:
Isso simplifica para
Passo 3
A área do retângulo é
Passo 4
Para maximizar
sujeita à restrição
, aplicamos AM–GM a
e
:
ou seja
Daí
Portanto a área máxima possível é
A igualdade ocorre exatamente quando
, ou seja, quando
.
Passo 5
Como
, o retângulo inscrito de área máxima tem lados iguais
, isto é, é um quadrado.
Resposta
O retângulo inscrito de maior área na circunferência é um quadrado.