Inscreva num círculo um retângulo de área a^2. Mostre que esse retângulo é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para inscrever no interior de uma circunferência um retângulo de área máxima e mostrar que esse retângulo é um quadrado.
Conteúdo usado: geometria (o fato de que o retângulo inscrito tem a sua diagonal igual ao diâmetro do círculo) e desigualdade da média aritmética e geométrica (AM–GM) para concluir onde ocorre o máximo de área.

Passo 2

Seja o círculo de raio R. Denotemos as metades dos lados do retângulo por x e y, de modo que o retângulo tenha comprimento total 2x e largura total 2y. Como os quatro vértices do retângulo estão sobre a circunferência, a diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo. Pelo teorema de Pitágoras:
(2x)^2+(2y)^2=(2R)^2
Isso simplifica para
x^2+y^2=R^2

Passo 3

A área do retângulo é
A=(2x),(2y)=4,x,y

Passo 4

Para maximizar A=4xy sujeita à restrição x^2+y^2=R^2, aplicamos AM–GM a x^2 e y^2:
x^2+y^22>=raizx^2,y^2,
ou seja
R^2= x^2+y^2 >= 2,x,y
Daí
x,y <= R^22 Longrightarrow 4,x,y <= 2,R^2
Portanto a área máxima possível é
Amax=2,R^2
A igualdade ocorre exatamente quando x^2=y^2, ou seja, quando x=y.

Passo 5

Como x=y, o retângulo inscrito de área máxima tem lados iguais 2x=2y, isto é, é um quadrado.

Resposta

O retângulo inscrito de maior área na circunferência é um quadrado.

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