Considere um triângulo retângulo e a circunferência inscrita nele. Se o ponto de contato entre a hipotenusa e a circunferência determina na hipotenusa segmentos de 4 me 6 m , determine a área do triângulo.
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo retângulo com hipotenusa dividida em segmentos de
m e
m pelo ponto de contato da circunferência inscrita. O conteúdo que vamos usar é:
- Propriedade dos segmentos formados pelos pontos de tangência do incírculo em cada lado, que valem
, e , onde é o semiperímetro e são os comprimentos dos lados. - Teorema de Pitágoras para relacionar os catetos ao valor da hipotenusa.
- Fórmula da área do triângulo retângulo
.
Passo 2
Denotemos por
e
os comprimentos dos catetos e por
o comprimento da hipotenusa. Como
, temos
Pela propriedade do incírculo, os segmentos na hipotenusa valem
onde
.
Passo 3
Das duas igualdades temos
Igualando-as segue
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Pitágoras:
Substituindo
obtemos
Resolvendo a equação quadrática,
ficando
(descartamos a solução negativa). Logo
.
Passo 5
A área do triângulo retângulo é
Resposta
A área do triângulo é
.