Considere um triângulo retângulo e a circunferência inscrita nele. Se o ponto de contato entre a hipotenusa e a circunferência determina na hipotenusa segmentos de 4 me 6 m , determine a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo retângulo com hipotenusa dividida em segmentos de 4 m e 6 m pelo ponto de contato da circunferência inscrita. O conteúdo que vamos usar é:
  1. Propriedade dos segmentos formados pelos pontos de tangência do incírculo em cada lado, que valem s - a, s - b e s - c, onde s é o semiperímetro e a,b,c são os comprimentos dos lados.
  2. Teorema de Pitágoras para relacionar os catetos ao valor da hipotenusa.
  3. Fórmula da área do triângulo retângulo tfracab2.

Passo 2

Denotemos por a e b os comprimentos dos catetos e por c o comprimento da hipotenusa. Como 4+6=10, temos
c = 10
Pela propriedade do incírculo, os segmentos na hipotenusa valem
s - a = 4 e s - b = 6,
onde s=a+b+c2.

Passo 3

Das duas igualdades temos
s = a + 4 e s = b + 6
Igualando-as segue
a + 4 = b + 6 Longrightarrow a - b = 2

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100
Substituindo b = a - 2 obtemos
a^2 + (a-2)^2 = 100 Longrightarrow 2a^2 -4a +4 -100 = 0 Longrightarrow a^2 -2a -48 = 0
Resolvendo a equação quadrática,
a = 2 pm raiz4 +1922 = 2 pm 142,
ficando a=8 (descartamos a solução negativa). Logo b = a - 2 = 6.

Passo 5

A área do triângulo retângulo é
Área = a , b2 = 8 times 62 = 24 Á

Resposta

A área do triângulo é 24 m^2.

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