A diagonal de um trapézio isósceles é bissetriz do ângulo da base maior. Se a altura desse trapézio mede 3 raiz5 m e o perímetro, 48 m , determine a área dele.

Passo 1

O enunciado trata de um trapézio isósceles cujas bases medem b (base maior) e c (base menor), os lados não paralelos medem l (iguais) e a altura é h=3raiz5. O perímetro é
P = b + c + 2l = 48
A condição extra é que cada diagonal bisseta o ângulo na base maior, o que leva à relação entre lados e bases usando o Teorema da Bissetriz num triângulo formado pelos vértices da base maior e um vértice oposto.

Passo 2

Se chamarmos os v’ertices de A,B,C,D em ordem (com AB=bparal<=l CD=c), a diagonal AC bisseta ang<= DAB. No tri^angulo DAB, o ponto de interse\c{c}~ao E de AC com BD divide BD segundo
DEEB = ADAB = lb
Por outro lado, nas coordenadas de um trap’ezio is’osceles ( A=(0,0), B=(b,0), D=((b-c)/2,h), C=((b+c)/2,h)) mostra-se que a interse\c{c}~ao das diagonais d’a
DEEB = cb
Comparando as duas raz~oes obt’em-se
cb ;=;lb Longrightarrow c = l

Passo 3

Agora o perímetro vira
b + c + 2l = b + l + 2l = b + 3l = 48 Longrightarrow b = 48 - 3l

Passo 4

Na proje\c{c}~ao da base menor sobre a base maior, o semidiferen\c{c}a das bases 'e tfracb-c2 e vale pelo pitagoriano no tri^angulo ret^angulo formado pela altura h, a proje\c{c}~ao e o lado l:
l^2 = h^2 + l(b-c2r)^2
Substituindo c=l, b=48-3l e h^2=(3raiz5)^2=45, obtemos
l^2 = 45 + l(48-3l - l2r)^2 = 45 + l(48-4l2r)^2 =45 + (24-2l)^2
Isso expande para
l^2 = 45 + (576 -96l +4l^2) ;Longrightarrow; 0 = 3l^2 -96l +531 ;Longrightarrow; l^2 -32l +177 = 0
(Ajuste num’erico: de fato chega-se a l^2 -32l +207=0, discriminante 196, ra’izes l=9 ou 23; s’o l=9 gera b>0.)

Passo 5

Escolhendo l=9, temos
b = 48 - 3cdot9 = 21, c = l =9, h=3raiz5

Passo 6

A área do trapézio é
A = b+c2;h = 21+92;3raiz5 =15cdot3raiz5 =45raiz5

Resposta

A área do trapézio é 45raiz5,m^2.

Exercícios de Livros Relacionados