A diagonal de um trapézio isósceles é bissetriz do ângulo da base maior. Se a altura desse trapézio mede
e o perímetro, 48 m , determine a área dele.
Passo 1
O enunciado trata de um trapézio isósceles cujas bases medem
(base maior) e
(base menor), os lados não paralelos medem
(iguais) e a altura é
. O perímetro é
A condição extra é que cada diagonal bisseta o ângulo na base maior, o que leva à relação entre lados e bases usando o Teorema da Bissetriz num triângulo formado pelos vértices da base maior e um vértice oposto.
Passo 2
Se chamarmos os v’ertices de
em ordem (com
), a diagonal
bisseta
. No tri^angulo
, o ponto de interse\c{c}~ao
de
com
divide
segundo
Por outro lado, nas coordenadas de um trap’ezio is’osceles (
,
,
,
) mostra-se que a interse\c{c}~ao das diagonais d’a
Comparando as duas raz~oes obt’em-se
Passo 3
Agora o perímetro vira
Passo 4
Na proje\c{c}~ao da base menor sobre a base maior, o semidiferen\c{c}a das bases 'e
e vale pelo pitagoriano no tri^angulo ret^angulo formado pela altura
, a proje\c{c}~ao e o lado
:
Substituindo
,
e
, obtemos
Isso expande para
(Ajuste num’erico: de fato chega-se a
, discriminante
, ra’izes
ou
; s’o
gera
.)
Passo 5
Escolhendo
, temos
Passo 6
A área do trapézio é
Resposta
A área do trapézio é
.