(Insper-02) Uma uma contém k bolas numeradas de la k. A média aritmética calculada com os números dessas bolas é 139. Se extrairmos dessa urna uma bola ao acaso, qual a probabilidade de seu número ser um múltiplo de 7?

Passo 1

O enunciado diz que há uma urna com k bolas numeradas de 1 a k e que a média aritmética dos números dessas bolas é 139.
Conteúdo: média aritmética de termos consecutivos e contagem de múltiplos.
Para resolver, primeiro a gente encontra k usando a fórmula da média de 1 a k, depois conta quantos múltiplos de 7 há nesse intervalo e, por fim, calcula a probabilidade.

Passo 2

A soma dos números de 1 a k é
\frac{k(k+1)}{2}
e a média aritmética é
\frac{\frac{k(k+1)}{2}}{k} \;=\;\frac{k+1}{2}.
Como essa média vale 139, temos
\frac{k+1}{2} = 139.
Resolvendo,
k+1 = 278 \quad\Longrightarrow\quad k = 277.

Passo 3

Agora precisamos contar quantos números entre 1 e 277 são múltiplos de 7. Um múltiplo geral é 7m com m\in\mathbb{N} e 7m\le277.
O maior m é
m = \left\lfloor \frac{277}{7} \right\rfloor = 39.
Logo, há 39 múltiplos de 7 nesse intervalo.

Passo 4

A probabilidade de extrair ao acaso uma bola cujo número seja múltiplo de 7 é o número de múltiplos de 7 dividido pelo total de bolas k=277, ou seja
\frac{39}{277}.

Resposta

\displaystyle \frac{39}{277}

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