(Insper-02) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de sair face 5 em um lançamento é o triplo da probabilidade de sair face 1. As demais faces têm a mesma probabilidade de um dado nāo viciado. Qual a probabilidade de que lançando o dado duas vezes a soma dos pontos obtidos seja 7?
Passo 1
O enunciado diz que temos um dado viciado em que a probabilidade de sair face 5 num lançamento é o triplo da probabilidade de sair face 1, e que as demais faces (2, 3, 4 e 6) mantêm a mesma probabilidade que teriam num dado não viciado. Em seguida lançamos esse dado duas vezes e queremos a probabilidade de que a soma dos resultados seja 7.
Conteúdo: probabilidade de variáveis discretas independentes, definição de distribuição de um dado viciado e soma de eventos independentes.
Conteúdo: probabilidade de variáveis discretas independentes, definição de distribuição de um dado viciado e soma de eventos independentes.
Passo 2
Denotemos por
a probabilidade de sair face 1 num lançamento. Então, por hipótese,
e como faces 2, 3, 4 e 6 têm a mesma probabilidade de um dado justo, temos
Como a soma das probabilidades de todas as faces deve dar 1, montamos a equação de normalização.
Passo 3
A normalização é
Isso dá
Logo
Passo 4
Para que a soma dos dois lançamentos seja 7, os pares
possíveis são
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de cada par é o produto
.
Passo 5
Calculemos cada contribuição e somemos:
Somando tudo:
Resposta
A probabilidade de a soma dos pontos em dois lançamentos ser 7 é
.