(Insper-02) Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de sair face 5 em um lançamento é o triplo da probabilidade de sair face 1. As demais faces têm a mesma probabilidade de um dado nāo viciado. Qual a probabilidade de que lançando o dado duas vezes a soma dos pontos obtidos seja 7?

Passo 1

O enunciado diz que temos um dado viciado em que a probabilidade de sair face 5 num lançamento é o triplo da probabilidade de sair face 1, e que as demais faces (2, 3, 4 e 6) mantêm a mesma probabilidade que teriam num dado não viciado. Em seguida lançamos esse dado duas vezes e queremos a probabilidade de que a soma dos resultados seja 7.
Conteúdo: probabilidade de variáveis discretas independentes, definição de distribuição de um dado viciado e soma de eventos independentes.

Passo 2

Denotemos por p a probabilidade de sair face 1 num lançamento. Então, por hipótese,
P(1)=p,\quad P(5)=3p,
e como faces 2, 3, 4 e 6 têm a mesma probabilidade de um dado justo, temos
P(2)=P(3)=P(4)=P(6)=\frac{1}{6}.
Como a soma das probabilidades de todas as faces deve dar 1, montamos a equação de normalização.

Passo 3

A normalização é
P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) =p + 4\cdot\frac{1}{6} + 3p = 1.
Isso dá
4p + \frac{4}{6} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{1}{12}.
Logo
P(1)=\frac{1}{12},\quad P(5)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}, \quad P(2)=P(3)=P(4)=P(6)=\frac{1}{6}.

Passo 4

Para que a soma dos dois lançamentos seja 7, os pares (i,j) possíveis são
(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1).
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de cada par é o produto P(i)\,P(j).

Passo 5

Calculemos cada contribuição e somemos:
P(1,6)+P(6,1) =2\biggl(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{6}\biggr) =2\cdot\frac{1}{72} =\frac{1}{36},
P(2,5)+P(5,2) =2\biggl(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}\biggr) =2\cdot\frac{1}{24} =\frac{1}{12},
P(3,4)+P(4,3) =2\biggl(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\biggr) =2\cdot\frac{1}{36} =\frac{1}{18}.
Somando tudo:
\frac{1}{36} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

Resposta

A probabilidade de a soma dos pontos em dois lançamentos ser 7 é \tfrac{1}{6}.

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