(Insper-02) Lúcia ganhou dois gatos, um preto e um branco. Lúcia sabe que um deles é fêmea. Qual a probabilidade de ambos os gatos serem lêmeas?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que Lúcia tem dois gatos, um preto e um branco, e cada um pode ser macho ou fêmea com probabilidade igual e independente. Sabemos que “pelo menos um é fêmea” e queremos a probabilidade de “ambos serem fêmeas”. O conteúdo é probabilidade condicional e espaço amostral discreto com casos equiprováveis.

Passo 2

Modelamos o espaço amostral antes da informação como todas as combinações de sexo do gato preto e do gato branco. Cada combinação tem probabilidade igual 1/4:
\{(M,M),\,(M,F),\,(F,M),\,(F,F)\},
onde o primeiro elemento do par é o sexo do gato preto e o segundo, o sexo do gato branco.

Passo 3

A informação “pelo menos um é fêmea” exclui o caso (M,M). O espaço amostral condicionado passa a ser
\{(M,F),\,(F,M),\,(F,F)\},
com probabilidades proporcionais às originais, isto é, cada uma igual a 1/3.

Passo 4

No espaço condicionado, o evento “ambos são fêmeas” corresponde ao único caso (F,F). Logo, a probabilidade buscada é
\frac{\Pr\{(F,F)\}}{\Pr\{\text{pelo menos um é F}\}} =\frac{\tfrac14}{1-\tfrac14} =\frac{\tfrac14}{\tfrac34} =\frac13.é

Resposta

A probabilidade de ambos os gatos serem fêmeas é \tfrac13.

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