(Insper-11) Seja A o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma \left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right], em que x, y, z, w são elementos do conjunto \{0 ; 1\}. Escolhendo ao acaso uma matriz do conjunto A, a probabilidade de que seu determinante seja zero é igual a
a) 1 / 2
b) 5 / 8
c) 3 / 4
d) 7 / 8

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, escolhendo ao acaso uma matriz
\begin{pmatrix} x & y\\\ z & w \end{pmatrix}
com x,y,z,w\in\{0,1\}, seu determinante \det = xw - yz ser zero. O conteúdo envolve contagem de casos e cálculo de probabilidade em espaço uniforme.

Passo 2

Primeiro determinamos o número total de matrizes em A. Como cada um dos quatro elementos pode ser 0 ou 1, há
\lvert A\rvert = 2^4 = 16
matrizes possíveis.

Passo 3

Em seguida, contamos quantas matrizes têm determinante diferente de zero. Note que
\det = xw - yz
pode valer -1, 0 ou 1. Para \det\neq0 precisamos de \lvert xw - yz\rvert = 1, ou seja, um dos produtos xw e yz vale 1 e o outro vale 0.

Passo 4

Caso 1: xw=1 e yz=0.
  • xw=1 impõe x=1 e w=1 (1 escolha).
  • yz=0 significa que (y,z) não podem ser ambos 1, logo há 3 escolhas: (0,0),(1,0),(0,1).
    Total de matrizes desse tipo: 1\times3=3.
Caso 2: xw=0 e yz=1.
  • yz=1 impõe y=1 e z=1 (1 escolha).
  • xw=0 significa que (x,w) não podem ser ambos 1, logo há 3 escolhas: (0,0),(1,0),(0,1).
    Total de matrizes desse tipo: 1\times3=3.
Com isso, o número de matrizes com \det\neq0 é 3+3=6.

Passo 5

O número de matrizes com \det=0 é
16 - 6 = 10.
Logo, a probabilidade pedida é
\frac{10}{16} = \frac{5}{8}.

Resposta

b) 5/8

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