(Insper-11) Seja A o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma
, em que
, w são elementos do conjunto
. Escolhendo ao acaso uma matriz do conjunto
, a probabilidade de que seu determinante seja zero é igual a
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, escolhendo ao acaso uma matriz
com
, seu determinante
ser zero. O conteúdo envolve contagem de casos e cálculo de probabilidade em espaço uniforme.
Passo 2
Primeiro determinamos o número total de matrizes em
. Como cada um dos quatro elementos pode ser
ou
, há
matrizes possíveis.
Passo 3
Em seguida, contamos quantas matrizes têm determinante diferente de zero. Note que
pode valer
,
ou
. Para
precisamos de
, ou seja, um dos produtos
e
vale
e o outro vale
.
Passo 4
Caso 1:
e
.
-
impõe e (1 escolha). -
significa que não podem ser ambos 1, logo há 3 escolhas: .
Total de matrizes desse tipo:.
Caso 2:
e
.
-
impõe e (1 escolha). -
significa que não podem ser ambos 1, logo há 3 escolhas: .
Total de matrizes desse tipo:.
Com isso, o número de matrizes com
é
.
Passo 5
O número de matrizes com
é
Logo, a probabilidade pedida é
Resposta
b)