*21. Se n é um inteiro positivo, mostre que y=x^n e^-x assume seu valor máximo em x=n, de modo que seus valores em x=n-1 e x=n+1 são menores que o máximo. Utilize esse fato para mostrar que
(n+1n)^n<e<(nn-1)^n
e, por sua vez, utilize esse último resultado para mostrar que
(1+1n)^n<e<(1+1n)^n+1
para todo n. Quando n=5, a segunda desigualdade implica que e<3. Verifique!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro positivo n, a função
y = x^n e^-x
atinge máximo em x=n, de onde segue que
y(n)>y(n-1)e y(n)>y(n+1),
o que leva às desigualdades
l(tfracn+1nr)^n<e<l(tfracnn-1r)^n
Em seguida devemos usar esse resultado para deduzir
l(1+tfrac1nr)^n<e<l(1+tfrac1nr)^n+1,
e finalmente verificar, para n=5, que isso implica e<3. Vamos usar cálculo de derivada para achar o máximo e depois manipulações algébricas (incluindo a desigualdade de Bernoulli).

Passo 2

Para achar o máximo, calculemos a derivada de
y(x)=x^ne^-x
Usando a regra do produto e da cadeia,
y'(x)=n,x^n-1e^-x-x^ne^-x =x^n-1e^-xl(n - xr)
Logo y'(x)=0 em x=n. Como para x<n temos y'(x)>0 e para x>n temos y'(x)<0, segue que x=n é ponto de máximo. Portanto
y(n)=n^ne^-n
é o valor máximo.

Passo 3

Comparando o máximo com o valor em x=n+1, escrevemos
y(n)>y(n+1) Longrightarrow n^ne^-n>(n+1)^ne^-(n+1)
Dividindo ambos os lados por (n+1)^ne^-n obtemos
l(tfracnn+1r)^n>e^-1 Longrightarrow l(tfracn+1nr)^n<e

Passo 4

Comparando o máximo com o valor em x=n-1, escrevemos
y(n)>y(n-1) Longrightarrow n^ne^-n>(n-1)^ne^-(n-1)
Dividindo por (n-1)^ne^-n
l(tfracn,n-1r)^n>e,
ou seja
e<l(tfracn,n-1r)^n
Juntando com o resultado do passo anterior, concluímos
l(tfracn+1nr)^n<e<l(tfracn,n-1r)^n

Passo 5

Note que l(tfracn+1nr)^n=(1+tfrac1n)^n e
l(tfracn,n-1r)^n =l(1+tfrac1n-1r)^n
Para mostrar que
l(1+tfrac1n-1r)^n<=l(1+tfrac1nr)^n+1,
consideremos a razão
R =(1+1n-1)^n(1+1n)^n+1 =n^n(n) (n-1)^n(n+1)^n+1 =n^2n+1(n^2-1)^n(n+1)
Usando a desigualdade de Bernoulli na forma (1-tfrac1n^2)^n>1-tfrac nn^2=1-tfrac1n, obtemos
(n^2-1)^n =l[n^2(1-tfrac1n^2)r]^n >n^2n(1-tfrac1n) =n^2nn-1n
Logo
R<n^2n+1n^2nn-1n(n+1) =n^2n+1n^2ncdotn(n-1)(n+1) =nn^2-1cdotnn-1 =nn-1,
e como nn-1<1 para todo n>=2, segue R<1. Assim
(1+tfrac1n-1)^n<=(1+tfrac1n)^n+1,
e concluímos
(1+tfrac1n)^n<e<(1+tfrac1n)^n+1

Passo 6

Para n=5 temos
(1+tfrac15)^5=(tfrac65)^5=6^55^5=77763125approx2,4883
e
(1+tfrac15)^6=(tfrac65)^6=4665615625approx2,985984
Portanto
2,4883<e<2,985984<3,
verificando que e<3.

Resposta

l(1+tfrac1nr)^n<e<l(1+tfrac1nr)^n+1,
e para n=5 segue e<3.

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