*21. Se
é um inteiro positivo, mostre que
assume seu valor máximo em
, de modo que seus valores em
e
são menores que o máximo. Utilize esse fato para mostrar que
e, por sua vez, utilize esse último resultado para mostrar que
para todo
. Quando
, a segunda desigualdade implica que
. Verifique!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro positivo
, a função
atinge máximo em
, de onde segue que
o que leva às desigualdades
Em seguida devemos usar esse resultado para deduzir
e finalmente verificar, para
, que isso implica
. Vamos usar cálculo de derivada para achar o máximo e depois manipulações algébricas (incluindo a desigualdade de Bernoulli).
Passo 2
Para achar o máximo, calculemos a derivada de
Usando a regra do produto e da cadeia,
Logo
em
. Como para
temos
e para
temos
, segue que
é ponto de máximo. Portanto
é o valor máximo.
Passo 3
Comparando o máximo com o valor em
, escrevemos
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Comparando o máximo com o valor em
, escrevemos
Dividindo por
dá
ou seja
Juntando com o resultado do passo anterior, concluímos
Passo 5
Note que
e
Para mostrar que
consideremos a razão
Usando a desigualdade de Bernoulli na forma
, obtemos
Logo
e como
para todo
, segue
. Assim
e concluímos
Passo 6
Para
temos
e
Portanto
verificando que
.
Resposta
e para
segue
.