Calcule os seguintes limites:
(e) lim n infty(1+12 n^2)^2 n.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = l(1+12n^2r)^2n
quando ntoinfty. O conteúdo aqui é o estudo de limites do tipo “ (1+xn)^yn” com xnto0 e yntoinfty, onde usamos a relação com a função exponencial.

Passo 2

Para lidar com potências, é comum tomar o logaritmo. Seja
ln an = 2n;ln!l(1+12n^2r)

Passo 3

Como 12n^2to0, podemos usar a expansão
ln(1+u)=u + O(u^2) com u=12n^2
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ln!l(1+12n^2r) =12n^2 + O!l(1n^4r),
e multiplicando por 2n obtemos
ln an =2nl(12n^2 + O(tfrac1n^4)r) =1n + O!l(1n^3r)
À medida que ntoinfty, isso vai para 0.

Passo 4

Voltando da barra do logaritmo,
an = e^ln an longrightarrow e^0 = 1

Resposta

1

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